[论文解读] Dual Teichm\" uller spaces

V. V. Fock|ArXiv.org|Feb 20, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 47

一句话总结

本文在具有孔洞的黎曼曲面及装饰曲面的汤川空间上引入了显式的全局坐标，建立了汤川理论、测度叶状结构与数学物理之间的桥梁。通过与魏尔-彼得森泊松结构相容的量子化程序，构建了这些空间上函数代数的非交换形变，并揭示了显著的 $\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ 对称性，暗示其与二维及三维量子引力和模函子的联系。

ABSTRACT

We describe in elementary geometrical terms Teichm\" uller spaces of decorated and holed surfaces. We construct explicit global coordinates on them as well as on the spaces of measured laminations with compact and closed support respectively. We show explicitly that the latter spaces are asymptotically isomorphic to the former. We discuss briefly quantisation of Teichm\" uller spaces and some other application of the constructed approach. The paper does not require any preliminary knowledge of the subject above the Poincar\' e uniformisation theorem.

研究动机与目标

• 在具有孔洞的黎曼曲面及装饰曲面的汤川空间上发展显式的全局坐标。
• 通过尺度极限和长度函数的连续性，建立这些空间与测度叶状结构之间的对应关系。
• 构建汤川空间上函数代数的非交换形变，使其与魏尔-彼得森泊松结构及映射类群作用相容。
• 定义映射类群的酉射影表示，其在猜想下构成模函子。
• 通过量子化和 $\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ 对称性，探索与三维及二维李乌维尔引力的联系。

提出的方法

• 利用福克的显式参数化，在具有孔洞的曲面的汤川空间上引入坐标系。
• 应用佩纳的坐标描述装饰汤川空间，并计算魏尔-彼得森辛形式与退化辛结构。
• 使用带权图和双曲平面上的理想三角剖分来建模曲面，并通过交比与莫比乌斯变换定义边坐标。
• 推导魏尔-彼得森泊松二阶张量 $P_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE(\Gamma)} \frac{\partial}{\partial z_{\overline{\alpha}}}} \wedge \frac{\partial}{\partial z_{{\overline{\alpha}}(1)}}$，并证明其在微分同胚下的不变性。
• 使用量子化参数 $\hbar$ 构造汤川空间上函数代数的非交换形变，保持 $\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ 对偶性。
• 将全铺砌空间 ${\cal T}_{\infty}$ 识别为汤川空间的万有覆盖，并通过满足沿面序列发散条件的边坐标将其嵌入 ${\mathbb{R}}^{\infty}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有孔洞的曲面及装饰曲面的汤川空间上显式构造全局坐标？
• RQ2 具有孔洞的曲面的汤川空间与测度叶状结构空间之间的确切关系是什么，特别是在尺度极限下？
• RQ3 魏尔-彼得森泊松结构如何通过坐标显式实现，其在微分同胚作用下的不变性如何？
• RQ4 能否构造汤川空间上函数代数的非交换形变，使其尊重映射类群作用并表现出 $\hbar \leftrightarrow 1/\hbar$ 对称性？
• RQ5 所得到的量子化代数在二维或三维量子引力及共形场论中的几何与物理意义是什么？

主要发现

• 使用佩纳坐标，在具有孔洞的曲面及装饰汤川空间上定义了显式的全局坐标。
• 在边坐标下显式计算了魏尔-彼得森辛形式与泊松二阶张量：$\omega_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE({\tt T})} dz_{\overline{\alpha}} \wedge dz_{{\overline{\alpha}}(1)}$ 与 $P_{WP} = \sum_{\overline{\alpha} \in EE(\Gamma)} \frac{\partial}{\partial z_{\overline{\alpha}}}} \wedge \frac{\partial}{\partial z_{{\overline{\alpha}}(1)}}$。
• 将全铺砌空间 ${\cal T}_{\infty}$ 识别为汤川空间的万有覆盖，并通过满足沿面序列发散条件的边坐标将其嵌入 ${\mathbb{R}}^{\infty}$。
• 魏尔-彼得森形式 $\omega_{WP}$ 是闭的，且泊松二阶张量 $P_{WP}$ 定义了一个在 $\mathrm{Diff}({\mathbb{R}}P^1)$ 作用下不变的泊松结构。
• 构造了汤川空间上函数代数的非交换形变，表现出 $\hbar$ 与 $1/\hbar$ 之间的对偶性，暗示其具有模函子结构。
• 该构造实现了映射类群的酉射影表示，并在几何上解释为二维李乌维尔引力中的共形块或三维量子引力中的量子态。