[论文解读] Dualite de Koszul des PROPs

Bruno Vallette|ArXiv.org|May 4, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文建立了针对PROPs的Koszul对偶理论——一种用于建模多输入、多输出运算的代数结构——将经典的Koszul对偶从代数和操作代数推广至PROPs。本文引入了对偶共-PROP、bar与cobar构造，并证明一个PROP是Koszul当且仅当其Koszul复形是同调无环的，从而通过其对偶共-PROP的cobar构造获得极小模型。

ABSTRACT

In this thesis, we generalize the Koszul duality for associative algebras and operads to PROPs. The operads are algebraic objects that represent the operations with multiple inputs but only one output acting on a certain type of algebras. A PROP models the operations with multiple inputs and multiple outputs acting on algebraic structures like bialgebras and Lie bialgebras. We also give a construction of the free monoid (for a monoidal product non-necessarily bilinear). We generalize the Poincare series of operads to PROPs and we prove a functional equation for Poincare series of Koszul PROPs.

研究动机与目标

• 将Koszul对偶从结合代数和操作代数推广至PROPs，后者用于建模多输入、多输出的运算。
• 为任意二次PROP定义其对偶共-PROP，推广代数与余操作代数的对偶概念。
• 为PROPs发展bar与cobar构造，并确立其同调性质。
• 通过Koszul复形的无环性，提供一个PROPs为Koszul的同调准则。
• 通过其对偶共-PROP的cobar构造，构建PROPs的极小模型。

提出的方法

• 在$\mathbb{S}$-双模上定义一个新的乘积$\boxtimes_c$，表示运算的连通复合，以建模PROPs。
• 引入“propérade”作为$\boxtimes_c$下的幺半，从而对连通分支实现更精细的控制。
• 为微分分次$\mathbb{S}$-双模构造bar与cobar函子，并将其推广至PROPs。
• 通过滤子与谱序列论证，比较$\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$与$\mathcal{P}^!$的cobar构造的同调。
• 应用反射等化子与分裂解析函子的理论，确保在一般张量范畴中自由幺半的存在性。
• 通过关键准则建立对偶性：$\mathcal{P}$是Koszul当且仅当$\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$是无环的。

实验结果

研究问题

• RQ1 Koszul对偶如何从操作代数与代数推广至建模多输入多输出运算的PROPs？
• RQ2 对于一个二次PROP，其对偶共-PROP的正确概念是什么？它与代数和余操作代数的经典对偶有何关系？
• RQ3 bar与cobar构造能否推广至PROPs？它们是否能给出原PROP的解析？
• RQ4 何种同调准则可表征一个PROP为Koszul？它与Koszul复形无环性的关系如何？
• RQ5 其对偶共-PROP的cobar构造如何为原PROP提供极小模型？

主要发现

• 一个PROP $\mathcal{P}$是Koszul当且仅当其Koszul复形$\mathcal{P}^! \boxtimes \mathcal{P}$是无环的。
• 当且仅当$\mathcal{P}$是Koszul时，cobar构造$\bar{\mathcal{B}}^c(\mathcal{P}^!) \to \mathcal{P}$是拟同构。
• 对偶共-PROP $\mathcal{P}^{!\prime}$同时推广了代数的对偶与余操作代数的对偶。
• PROPs的bar与cobar构造是良定义的，并在给定条件下保持同调性质。
• 该理论适用于其底层张量范畴保持反射等化子的所有PROPs，其中包括所有标准例子。
• Koszul PROP的极小模型由其对偶共-PROP的cobar构造给出，提供了一个小的、拟自由的解析。