[论文解读] Dualities in equivariant Kasparov theory

Heath Emerson, Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 24

一句话总结

本文在群胚作用于C*-代数丛的双不变K-理论中建立了两个等变对偶同构，推广了 Kasparov 的庞加莱对偶性。通过 Kasparov 乘积引入抽象对偶，并为光滑流形和单纯复形的丛构造对称对偶，从而实现等变KK-理论的几何模型，通过狄拉克算子和指标映射定义等变Lefschetz不变量与欧拉示性数。

ABSTRACT

We study several duality isomorphisms between equivariant bivariant K-theory groups, generalising Kasparov's first and second Poincare duality isomorphisms. We use the first duality to define an equivariant generalisation of Lefschetz invariants of generalised self-maps. The second duality is related to the description of bivariant Kasparov theory for commutative C*-algebras by families of elliptic pseudodifferential operators. For many groupoids, both dualities apply to a universal proper G-space. This is a basic requirement for the dual Dirac method and allows us to describe the Baum-Connes assembly map via localisation of categories.

研究动机与目标

• 将 Kasparov 的第一和第二庞加莱对偶同构推广至群胚作用于非紧致及丛型空间的等变双不变K-理论。
• 利用第一个对偶同构及对偶的函子性，定义等变Lefschetz不变量。
• 通过第二个对偶性建立等变KK-理论的几何模型，将KK-群约化为具有支撑条件的K-理论。
• 通过证明在存在对称Kasparov对偶时，对偶狄拉克方法与Baum–Connes汇编映射等价，统一二者。
• 通过局部平凡C*-代数丛推广对偶性至扭曲双不变K-理论，并验证流形、带边流形及单纯复形的对偶性。

提出的方法

• 通过类 Θ ∈ RKKG_n(X; C0(Z), P) 引入恰当G-C*-代数丛的抽象对偶，该类通过Kasparov乘积诱导对偶同构。
• 利用垂直切丛 TX 及其关联C*-代数 C0(TX)，为光滑流形丛构造对称Kasparov对偶，其中包含合适的类 Θ。
• 将Clifford代数丛 Cτ(X) 作为替代对偶，证明 C0(TX) 与 Cτ(X) 在 KKG⋉X 下等价，且保持对偶同构。
• 应用第二个对偶性，将KK-群约化为具有支撑条件的K-理论，特别是局部有限K-同调，从而实现几何循环描述。
• 将等变欧拉示性数定义为狄拉克算子类 [DdR] 在指标映射 µX: KKG_*(C0(X), C0(Z)) → K*(C*rG) 下的像。
• 在紧致情形下建立两个对偶同构的等价性，并通过γ-元素与普遍恰当G-空间将之与Baum–Connes猜想关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，恰当G-空间在等变双不变K-理论中具有对称Kasparov对偶？
• RQ2 第一和第二庞加莱对偶同构如何推广至具有群胚作用的非紧致及丛型空间？
• RQ3 普遍恰当G-空间在实现对偶狄拉克方法与Baum–Connes汇编映射等价性中起何作用？
• RQ4 如何利用对偶性与KK-理论中的函子性来定义并计算等变Lefschetz不变量？
• RQ5 当通过局部平凡C*-代数丛扭曲或推广至分层伪流形时，两个对偶同构在多大程度上仍保持等价？

主要发现

• 第一个对偶同构建立了同构 KKG_*(P ⊗Z A, B) ≅ RKKG_*(X; A, B)，其中 (P, Θ) 为对称Kasparov对偶，推广了Kasparov的第一庞加莱对偶性。
• 对于具有恰当G-作用的光滑流形丛 X → Z，若在边界上附加一个开口套管 X◦，则 C0(TX◦) 搭配合适的类 Θ 构成抽象对偶。
• 第二个对偶同构将KK-群约化为具有支撑条件的K-理论，具体表现为 KG,lf_*(TX◦) ≅ K*_G(X)，即垂直切丛的局部有限K-同调。
• 等变欧拉示性数为 EulG = [DdR] ∈ KKG_*(C0(X), C0(Z))，其中 DdR 为沿锚映射 X → Z 纤维的de Rham算子。
• 映射 µX: KKG_*(C0(X), C0(Z)) → K*(C*rG) 将欧拉示性数映射为叶层结构的holonomy覆盖上一族de Rham算子的等变指标。
• 叶层的L2-Betti数可表示为交替和 ∑i (−1)^i β^i_L2 = Λ ◦ µX([DdR])，即指标与一个不变横截测度的配对。