[论文解读] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: symmetric Hamiltonians and matrix product operator intertwiners

Laurens Lootens, Clement Delcamp+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2021

Algebraic structures and combinatorial models被引用 15

一句话总结

本文提出了一种范畴论框架，通过利用广义对称性的矩阵乘积算符（MPO）实现，对一维量子格点模型中的对偶性进行分类。它表明，对偶哈密顿量源自于一个融合范畴上的不同模范畴，MPO互化子将局域算符映射为非局域的弦序算符，从而在单一代数结构下统一了已知的对偶性，如Kramers-Wannier对偶和Jordan-Wigner对偶。

ABSTRACT

We present a systematic recipe for generating and classifying duality transformations in one-dimensional quantum lattice systems. Our construction emphasizes the role of global symmetries, including those described by (non)-abelian groups but also more general categorical symmetries. These symmetries can be realized as matrix product operators which allow the extraction of a fusion category that characterizes the algebra of all symmetric operators commuting with the symmetry. Known as the bond algebra, its explicit realizations are classified by module categories over the fusion category. A duality is then defined by a pair of distinct module categories giving rise to dual realizations of the bond algebra, as well as dual Hamiltonians. Symmetries of dual models are in general distinct but satisfy a categorical Morita equivalence. A key novelty of our categorical approach is the explicit construction of matrix product operators that intertwine dual bond algebra realizations at the level of the Hilbert space, and in general map local order operators to non-local string-order operators. We illustrate this approach for known dualities such as Kramers-Wannier, Jordan-Wigner, Kennedy-Tasaki and the IRF-vertex correspondence, a new duality of the $t$-$J_z$ chain model, and dualities in models with the exotic Haagerup symmetry. Finally, we comment on generalizations to higher dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种系统性的、基于对称性的方法，对一维量子格点模型中的对偶性进行分类，超越传统的群对称性。
• 将已知的对偶性（如Kramers-Wannier、Jordan-Wigner和Kennedy-Tasaki）统一到一个根植于范畴对称性的单一代数框架下。
• 建立对偶哈密顿量与融合范畴上不同模范畴之间的对应关系，将对称性的概念推广至超越幺正群作用的范畴。
• 提供显式构造的矩阵乘积算符（MPO）互化子，用于在对偶模型之间映射对称算符，包括将局域算符转化为非局域的弦序算符。
• 将形式化推广至如Haagerup范畴等奇异对称性，并通过高阶范畴结构提出向高维模型推广的可能。

提出的方法

• 将广义（非阿贝尔、非可逆）对称性实现为作用于一维量子格点系统希尔伯特空间上的矩阵乘积算符（MPO）。
• 通过由融合范畴上的模范畴分类的键代数，表征与MPO对称性对易的对称算符代数。
• 将对偶定义为实现相同键代数但来自不同模范畴的两个不同模范畴，从而导致具有范畴莫里塔等价对称性的对偶哈密顿量。
• 显式构造MPO互化子，将一个模型中的局域算符映射为对偶模型中的非局域弦序算符，同时保持对称性结构。
• 将该框架应用于已知对偶性（如t-Jz链、IRF-顶点对偶）和奇异对称性（如Haagerup），使用MPO的张量网络表示。
• 提出通过球面对称融合2范畴和模2范畴对形式化进行高维推广，类比体-边界对应关系和(2+1)D拓扑序。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用超越传统群作用的一般对称性，系统地对一维量子格点模型中的对偶性进行分类？
• RQ2 矩阵乘积算符（MPO）互化子在通过不同模范畴实现相同键代数的对偶哈密顿量之间起什么作用？
• RQ3 在范畴对偶性框架下，一个对偶模型中的局域算符如何转化为对偶模型中的非局域弦序算符？
• RQ4 该框架能否将Kramers-Wannier、Jordan-Wigner和Kennedy-Tasaki等不同对偶性统一到单一范畴结构下？
• RQ5 该对偶性框架的高维推广是什么？它与(2+1)D中的拓扑序和能隙边界有何关联？

主要发现

• 本文确立了对偶哈密顿量源自于融合范畴上的不同模范畴，其中编码对称算符的键代数在对偶下保持不变。
• 从范畴数据显式构造的MPO互化子，将一个模型中的局域算符映射为对偶模型中的非局域弦序算符，从而在算符层面提供了对偶性的具体实现。
• 该框架成功重现了已知对偶性，包括伊辛模型的Kramers-Wannier对偶和Jordan-Wigner变换，方法是识别其底层的融合范畴和模范畴结构。
• 在t-Jz链模型中发现了一种新对偶，将具有非阿贝尔任意子自由度的自旋链与通过IRF-顶点对应关系的顶点模型联系起来。
• 该方法可推广至如Haagerup范畴等奇异对称性，提供了基于文献数据的MPO和互化子的显式张量网络构造。
• 该形式化暗示可通过球面对称融合2范畴和模2范畴实现高维推广，可能与体-边界对应关系及(2+1)D拓扑序相关联。