[论文解读] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: topological sectors

Laurens Lootens, Clement Delcamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 14

一句话总结

本文通过利用矩阵乘积算符（MPOs）显式构造互化算符，建立了一个通用框架，用于关联具有对称性扭结边界条件的一维量子格点模型的谱。关键结果是，双重模型的拓扑 sectors 通过底层融合范畴的 Drinfel'd 中心的非平凡编织自同构相互映射，该结果在包含自旋-1/2 XXZ 模型和具有 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 对称性的模型的对偶类中得到明确验证。

ABSTRACT

It has been a long-standing open problem to construct a general framework for relating the spectra of dual theories to each other. Here, we solve this problem for the case of one-dimensional quantum lattice models with symmetry-twisted boundary conditions. In ref. [PRX Quantum 4, 020357], dualities are defined between (categorically) symmetric models that only differ in a choice of module category. Using matrix product operators, we construct from the data of module functors explicit symmetry operators preserving boundary conditions as well as intertwiners mapping topological sectors of dual models onto one another. We illustrate our construction with a family of examples that are in the duality class of the spin-$\frac{1}{2}$ Heisenberg XXZ model. One model has symmetry operators forming the fusion category $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$ of representations of the group $\mathcal S_3$. We find that the mapping between its topological sectors and those of the XXZ model is associated with the non-trivial braided auto-equivalence of the Drinfel'd center of $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$.

研究动机与目标

• 解决一维量子格点模型谱之间对偶关系的长期开放问题。
• 为具有对称性扭结边界条件的双重模型之间拓扑 sectors 的映射提供一个通用框架。
• 确立对偶性源于同一输入融合范畴上的不同模范畴选择。
• 证明拓扑 sectors 之间的映射由范畴的 Drinfel'd 中心的编织自同构所支配。
• 展示对偶变换通过保持对称性和边界条件的显式 MPO 构造实现。

提出的方法

• 作者使用矩阵乘积算符（MPOs）构造保持边界条件的对称性算符，应用于一维量子格点模型。
• 他们将模型之间的对偶性定义为源于同一球面对称融合范畴上的不同模范畴，其中输入范畴即为系统的范畴对称性。
• 通过模函子和 MPO 构造的互化算符实现拓扑 sectors 之间的映射，确保在对称性操作下的一致性。
• 该构造依赖于 Turaev-Viro-Barrett-Westbury TQFT 的有能隙边界条件与输入融合范畴上的模范畴之间的全息对应关系。
• 利用 Clebsch-Gordan 系数和 $\mathcal{S}_3$ 的表示理论，显式计算了 $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$ 的半编织张量，确认了非平凡的编织自同构。
• 该框架被应用于包含 XXZ 模型和 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-对称模型的对偶类，显式导出了各 sector 的映射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地关联具有对称性扭结边界条件的一维量子格点模型的谱？
• RQ2 在存在范畴对称性的情况下，双重模型拓扑 sectors 映射背后的数学结构是什么？
• RQ3 如何从模函子和 MPO 的数据构造拓扑 sectors 之间的互化算符？
• RQ4 Drinfel'd 中心及其编织自同构在实现具有不同对称结构模型之间的对偶性中起什么作用？
• RQ5 XXZ 模型与 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-对称模型之间的对偶性是否可通过基于 MPO 的互化算符和 sector 映射显式实现？

主要发现

• 双重模型拓扑 sectors 之间的映射通过 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 的 Drinfel'd 中心的非平凡编织自同构实现，该结果在本文中被显式计算。
• 对于 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$-对称模型，标记为 $|1\rangle_{\underline{0}}$ 和 $|1\rangle_{\underline{1}}$ 的拓扑 sectors 在半编织作用下被映射为包含 $\omega$ 和 $\bar{\omega}$ 相位的叠加态。
• 拓扑 sectors 之间的互化算符被构造为包含群表示迹和 Kronecker delta 的 MPO 的线性组合，确保与融合规则的一致性。
• $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$ 的半编织张量被显式计算，表明 $R_{\underline{2},\mathcal{V}}(|1\rangle_{\underline{2}}\otimes|1\rangle_{\underline{1}})$ 产生涉及 $|2\rangle_{\underline{2}}\otimes|2\rangle_{\underline{2}}$ 的非平凡变换。
• 诱导表示如 $\mathrm{Ind}^{\mathcal{S}_3}_{\mathbb{Z}_2}(\underline{1}_{\mathbb{Z}_2}) \simeq \underline{1} \oplus \underline{2}$ 的分解得到确认，其显式基向量由群作用在不可约表示上导出。
• 该框架成功地将一个模型中的非对称局部算符映射为对偶模型中的非局部非对称算符，与通过范畴对称性规范化的广义对偶性一致。