[论文解读] Duality and flat base change on formal schemes

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 24

一句话总结

本文通过适配 Deligne 的方法以及基于 Brown 表示性的替代方法，建立了诺特形式概形上无界复形的全局 Grothendieck 对偶性。关键成果是针对具有凝聚上同调的拟正则映射与有下界的复形，建立了层化的对偶定理，该定理通过 Greenlees-May 对偶性统一了局部对偶、形式对偶与留数定理。

ABSTRACT

We give several related versions of global Grothendieck Duality for unbounded complexes on noetherian formal schemes. The proofs, based on a non-trivial adaptation of Deligne's method for the special case of ordinary schemes, are reasonably self-contained, modulo the Special Adjoint Functor Theorem. An alternative approach, inspired by Neeman and based on recent results about "Brown Representability," is indicated as well. A section on applications and examples illustrates how these theorems synthesize a number of different duality-related results (local duality, formal duality, residue theorems, dualizing complexes...). A flat-base-change theorem for pseudo-proper maps leads in particular to sheafified versions of duality for bounded-below complexes with quasi-coherent homology. Thanks to Greenlees-May duality, the results take a specially nice form for proper maps and bounded-below complexes with coherent homology.

研究动机与目标

• 将全局 Grothendieck 对偶性推广至诺特形式概形上的无界复形。
• 在单一框架内统一局部对偶、形式对偶、留数定理与对偶复形等不同的对偶现象。
• 为伪正则映射建立平坦基变换定理，从而在具有准凝聚上同调的有下界复形上实现层化对偶。
• 证明对于正则映射与具有凝聚上同调的有下界复形，Greenlees-May 对偶性使对偶性陈述呈现特别简洁的形式。

提出的方法

• 适配 Deligne 在形式概形上实现全局对偶性的方法，依赖于特殊伴随函子定理。
• 采用基于导出范畴中 Brown 表示性近期成果的替代方法。
• 利用导出范畴与 $oldsymbol{lat}$-函子的形式语言处理无界复形。
• 通过 torsion 与 completion 函子，特别是 ${oldsymbol{lat}}_{ ext{X}}$ 与 ${oldsymbol{lat}}_{ ext{Y}}$，建立基变换同构。
• 应用形式 Grothendieck-Malgrange 对偶性（形式-GM），以关联导出推出与 Hom-对象。
• 利用伴随关系 $f^{ extup{ atural}} ot extbf{R}f_*$ 与层化对偶同构推导主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将全局 Grothendieck 对偶性推广至诺特形式概形上的无界复形？
• RQ2 在形式概形设定下，何种条件可确保伪正则映射的平坦基变换同构成立？
• RQ3 Greenlees-May 对偶性如何使正则映射与具有凝聚上同调的有下界复形的对偶性陈述更为简化？
• RQ4 导出函子 $f^{ extup{ atural}}$ 与 $ extbf{R}f_*$ 在有下界凝聚复形子范畴上如何构成一对对偶伴随函子？
• RQ5 这些结果如何在形式概形语境中统一局部对偶、形式对偶与留数定理？

主要发现

• 本文证明：对于诺特形式概形之间的一对正则映射 $f: mspace{1.0mu} extsc{X} o mspace{1.0mu} extsc{Y}$，函子 $f^{ extup{ atural}}$ 在具有凝聚上同调的有下界复形范畴 ${ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}$ 上是 $ extbf{R}f_*$ 的右伴随。
• 对于 ${ mspace{1.0mu} extsc{F}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{Y}})$，基变换映射 $eta_{{ mspace{1.0mu} extsc{F}}}^{ extup{ atural}}$ 是同构，确认了形式设定下的平坦基变换。
• 对所有 ${ mspace{1.0mu} extsc{G}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{X}})$ 与 ${ mspace{1.0mu} extsc{F}} mspace{1.0mu} ext{in} mspace{1.0mu}{ extbf{D}}_{ ext{c}}^{+}({ mspace{1.0mu} extsc{Y}})$，对偶同构 $ extbf{R}f_* extbf{R}{ extsc{H}} extsc{om}^{ullet}({ mspace{1.0mu} extsc{G}}, f^{ extup{ atural}}{ mspace{1.0mu} extsc{F}}) o extbf{R}{ extsc{H}} extsc{om}^{ullet}( extbf{R}f_*{ mspace{1.0mu} extsc{G}}, { mspace{1.0mu} extsc{F}})$ 成立，从而确立了层化对偶。
• 当 ${ mspace{1.0mu} extsc{X}}$ 为拟代数形式概形时，$f^{ extup{ atural}}$ 可替换为函子 $f^{ imes}$，从而简化对偶性陈述。
• 通过基于导出范畴与伴随关系的统一框架，本研究整合了局部对偶、形式对偶与留数定理。
• 形式-GM 对偶同构 ${oldsymbol{lat}}_{ extsc{X}} f^{ atural} mspace{1.0mu} ext{is} mspace{1.0mu} ext{isomorphic to} mspace{1.0mu} f^{ atural}$ 确保 $f^{ atural}$ 保持有下界凝聚复形。