[论文解读] Duality and quotient spaces of generalized Wasserstein spaces

Nhan‐Phu Chung, Thanh‐Son Trinh|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在波兰度量空间上建立了广义 Wasserstein 距离 $W_{1}^{a,b}$ 的 Kantorovich 对偶性，证明了 $W_{1}^{a,b}$ 与平坦度量一致，并且 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 是测地空间。此外，本文表明在紧致群的等距作用下，商映射在 $\mathcal{M}^G(X)$ 与 $\mathcal{M}(X/G)$ 之间诱导出等距同构，并证明了广义 Wasserstein 空间在 Gromov-Hausdorff 与等变 Gromov-Hausdorff 收敛方面的结果。

ABSTRACT

In this article, using ideas of Liero, Mielke and Savaré in [21], we establish a Kantorovich duality for generalized Wasserstein distances $W_1^{a,b}$ on a generalized Polish metric space, introduced by Picolli and Rossi. As a consequence, we give another proof that $W_1^{a,b}$ coincide with flat metrics which is a main result of [25], and therefore we get a result of independent interest that $\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1 ight)$ is a geodesic space for every Polish metric space $X$. We also prove that $(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$ is isometric isomorphism to $(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$ for isometric actions of a compact group $G$ on a Polish metric space $X$; and several results of Gromov-Hausdorrf convergence and equivariant Gromov-Hausdorff convergence of generalized Wasserstein spaces. The latter results were proved for standard Wasserstein spaces in [22],[14] and [8] respectively.

研究动机与目标

• 在波兰度量空间上建立广义 Wasserstein 距离 $W_{1}^{a,b}$ 的 Kantorovich 对偶性。
• 通过使用对偶性重新证明 $W_{1}^{a,b}$ 与平坦度量的一致性，提供一种独立于 [PR16] 原证明的替代方法。
• 证明对于任意波兰度量空间 $X$，$(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 是测地空间。
• 将标准 Wasserstein 空间中的等距商结果推广至紧致群作用下的广义 $W_{p}^{a,b}$ 空间。
• 将 Gromov-Hausdorff 与等变 Gromov-Hausdorff 收敛结果推广至广义 Wasserstein 空间设置。

提出的方法

• 通过涉及有界连续函数 $\varphi_1, \varphi_2$ 的对偶公式推导 $W_{1}^{a,b}$ 的 Kantorovich 对偶性，其中满足 $\varphi_1(x) + \varphi_2(y) \leq b d(x,y)$ 且 $\varphi_i(x) \geq -a$，对偶值通过 $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$ 表达。
• 证明该对偶公式可恢复 Kantorovich-Rubinstein 型恒等式 $W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : f \in \mathbb{F} \right\}$，其中 $\mathbb{F}$ 由 $a$-有界、$b$-Lipschitz 函数构成。
• 通过等距群作用下的推送映射 $p_\sharp$，在 $({\mathcal{M}}^G(X), W_p^{a,b})$ 与 $({\mathcal{M}}(X/G), W_p^{a,b})$ 之间建立等距同构。
• 利用对偶性框架，通过双势函数 $\varphi_1, \varphi_2$ 的条件及测度的绝对连续与奇异部分分解，刻画最优计划 $\gamma$。
• 证明当 $X_n \to X$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛时，$({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于 $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$。
• 在群作用收敛时，证明诱导作用在广义 Wasserstein 空间上的等变 Gromov-Hausdorff 收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏超线性熵与紧致子水平集，广义 Wasserstein 距离 $W_{1}^{a,b}$ 在波兰度量空间上是否仍成立 Kantorovich 对偶性？
• RQ2 能否通过使用对偶性独立于 [PR16] 的原始证明，重新证明 $W_{1}^{a,b}$ 与平坦度量的一致性？
• RQ3 对于任意波兰度量空间 $X$，空间 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 是否为测地空间？
• RQ4 在紧致群的等距作用下，推送映射 $p_\sharp$ 是否在 $W_p^{a,b}$ 下诱导出 $\mathcal{M}^G(X)$ 与 $\mathcal{M}(X/G)$ 之间的等距同构？
• RQ5 广义 Wasserstein 空间是否继承其基度量空间的 Gromov-Hausdorff 与等变 Gromov-Hausdorff 收敛性？

主要发现

• 通过公式 $W_{1}^{a,b}(\mu_1, \mu_2) = \sup_{(\varphi_1, \varphi_2) \in \Phi_W} \sum_i \int_X I(\varphi_i(x)) d\mu_i(x)$ 建立了 $W_{1}^{a,b}$ 的 Kantorovich 对偶性，其中 $I(\varphi) = \inf_{s \geq 0} (s\varphi + a|1-s|)$。
• 该对偶性蕴含 Kantorovich-Rubinstein 型恒等式 $W_{1}^{a,b}(\mu, \nu) = \sup \left\{ \int f d(\mu - \nu) : \|f\|_\infty \leq a, \|f\|_{\text{Lip}} \leq b \right\}$，从而从 [PR16] 重新证明了平坦度量的一致性。
• 对于任意波兰度量空间 $X$，空间 $(\mathcal{M}(X), W_{1}^{a,b})$ 是测地空间，该结果具有独立兴趣。
• 对于在局部紧致波兰度量空间 $X$ 上作用的紧致群 $G$，推送映射 $p_\sharp: (\mathcal{M}^G(X), W_p^{a,b}) \to (\mathcal{M}(X/G), W_p^{a,b})$ 是等距映射。
• 当 $X_n \to X$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛时，广义 Wasserstein 空间 $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛于 $({\mathcal{M}}_p^C(X), W_p^{a,b})$。
• 当群作用 $\alpha_n \to \alpha$ 在作用拓扑下收敛时，诱导作用 $\alpha_n\sharp$ 在广义 Wasserstein 空间 $({\mathcal{M}}_p^C(X_n), W_p^{a,b})$ 上收敛于 $\alpha_\sharp$，在等变 Gromov-Hausdorff 拓扑下。