[论文解读] Duality between Lagrangian and Legendrian invariants

Tobias Ekholm, Yankı Lekili|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过在Weinstein流形中利用全纯曲线计数构造的扭曲上链，建立了Legendrian子流形$\Lambda$的Chekanov-Eliashberg微分Graded代数$CE^*(\Lambda)$与精确Lagrangian填充$L$的Floer上同调$CF^*(L)$之间的Koszul对偶性。在单连通性假设下，该对偶性蕴含$CE^*(\Lambda) \simeq \Omega CF_*(L)$，推广了经典的Koszul对偶性，并为辛拓扑中的计算提供了几何基础。

ABSTRACT

Consider a pair $(X,L)$, of a Weinstein manifold $X$ with an exact Lagrangian submanifold $L$, with ideal contact boundary $(Y,Λ)$, where $Y$ is a contact manifold and $Λ\subset Y$ is a Legendrian submanifold. We introduce the Chekanov-Eliashberg DG-algebra, $CE^{\ast}(Λ)$, with coefficients in chains of the based loop space of $Λ$ and study its relation to the Floer cohomology $CF^{\ast}(L)$ of $L$. Using the augmentation induced by $L$, $CE^{\ast}(Λ)$ can be expressed as the Adams cobar construction $Ω$ applied to a Legendrian coalgebra, $LC_{\ast}(Λ)$. We define a twisting cochain:\[\mathfrak{t} \colon LC_{\ast}(Λ) o \mathrm{B} (CF^*(L))^\#\]via holomorphic curve counts, where $\mathrm{B}$ denotes the bar construction and $\#$ the graded linear dual. We show under simply-connectedness assumptions that the corresponding Koszul complex is acyclic which then implies that $CE^*(Λ)$ and $CF^{\ast}(L)$ are Koszul dual. In particular, $\mathfrak{t}$ induces a quasi-isomorphism between $CE^*(Λ)$ and the cobar of the Floer homology of $L$, $ΩCF_*(L)$. We use the duality result to show that under certain connectivity and locally finiteness assumptions, $CE^*(Λ)$ is quasi-isomorphic to $C_{-*}(ΩL)$ for any Lagrangian filling $L$ of $Λ$. Our constructions have interpretations in terms of wrapped Floer cohomology after versions of Lagrangian handle attachments. In particular, we outline a proof that $CE^{\ast}(Λ)$ is quasi-isomorphic to the wrapped Floer cohomology of a fiber disk $C$ in the Weinstein domain obtained by attaching $T^{\ast}(Λ imes[0,\infty))$ to $X$ along $Λ$ (or, in the terminology of arXiv:1604.02540 the wrapped Floer cohomology of $C$ in $X$ with wrapping stopped by $Λ$). Along the way, we give a definition of wrapped Floer cohomology without Hamiltonian perturbations.

研究动机与目标

• 建立基于基本回路空间系数的Chekanov-Eliashberg DG代数$CE^*(\Lambda)$与Weinstein流形中精确Lagrangian$L$的Floer上同调$CF^*(L)$之间的对偶性。
• 通过全纯曲线不变量，将经典Koszul对偶性在$C^*(L)$与$C_*(-\Omega L)$之间的代数设定推广至辛几何设定。
• 通过缠绕Floer上同调与Lagrangian手柄附加的几何解释，阐明代数对偶性的几何意义。
• 通过全纯建筑结构在无哈密顿扰动下定义缠绕Floer上同调，提供一种新的几何框架。

提出的方法

• 通过Weinstein流形中的全纯曲线计数，构造一个扭曲上链$\mathfrak{t}: LC_*(\Lambda) \to \mathrm{B}(CF^*(L))^\#$。
• 使用Adams的cobar构造$\Omega$，在单连通性假设下，将$CE^*(\Lambda)$与$CF_*(L)$的cobar联系起来，从而建立拟同构。
• 通过由$L$诱导的增广映射，利用bar构造与分次对偶，将$CE^*(\Lambda)$定义为Legendrian余代数$LC_*(\Lambda)$的cobar。
• 应用Koszul复形构造以检测平凡性，从而推出拟同构，因此建立$CE^*(\Lambda)$与$\Omega CF_*(L)$之间的对偶性。
• 通过能量滤子与有限维近似，控制全纯盘的贡献，并在小作用窗口内证明拟同构。
• 构造一个链映射$\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$，连接缠绕Floer上同调与Chekanov-Eliashberg代数，通过词长的归纳法与作用控制，证明其为拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Chekanov-Eliashberg DG代数$CE^*(\Lambda)$与Lagrangian填充$L$的Floer上同调$CF^*(L)$之间存在Koszul对偶？
• RQ2 由全纯曲线构造的扭曲上链如何诱导$CE^*(\Lambda)$与$CF_*(L)$的cobar之间的拟同构？
• RQ3 在Weinstein流形中，由$\Lambda$停止缠绕的纤维圆盘$C$的缠绕Floer上同调$CW^*(C)$的几何意义是什么？
• RQ4 能否通过全纯建筑结构在无哈密顿扰动下定义缠绕Floer上同调？
• RQ5 该对偶性如何将代数拓扑中的经典Koszul对偶性推广至辛几何设定？

主要发现

• 在单连通性假设下，扭曲上链$\mathfrak{t}$诱导了$CE^*(\Lambda)$与$\Omega CF_*(L)$之间的拟同构，从而确立了Koszul对偶性。
• 在连通性与局部有限性假设下，Chekanov-Eliashberg代数$CE^*(\Lambda)$与$C_{-*}(\Omega L)$拟同构，对任意Lagrangian填充$L$成立。
• 链映射$\Psi_1: CW^*(C) \to CE^*(\Lambda)$为拟同构，在小作用窗口内其作用矩阵为三角形，对角线元素为$\pm 1$。
• 通过全纯曲线计数构造扭曲上链，为辛拓扑中代数Koszul对偶性提供了几何实现。
• 在通过附加$T^*(\Lambda \times [0,\infty))$得到的Weinstein流形中，由$\Lambda$停止缠绕的纤维圆盘$C$的缠绕Floer上同调$CW^*(C)$与$CE^*(\Lambda)$拟同构。
• 本文通过全纯建筑结构，提供了无需扰动的缠绕Floer上同调的定义，避免了哈密顿扰动。