[论文解读] Duality Defect of the Monster CFT

Ying-Hsuan Lin, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 7

一句话总结

本文識別並表徵了在蒙斯特共形場理論（CFT）中的對偶性缺陷線，證明其透過蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2A}$對稱性下的費米子化而產生。該對偶性缺陷被證明是非可逆的，並與模 $S$-對偶變換相關，其缺陷希爾伯特空間的分割函數與已知的$\mathcal{N}=1$超共形場理論「Beauty and the Beast」相符。該工作透過拓撲缺陷實現了怪獸月光理論，並建立了頂點算子代數與費米子CFT之間的聯繫。

ABSTRACT

We show that the fermionization of the Monster CFT with respect to $\mathbb{Z}_{2A}$ is the tensor product of a free fermion and the Baby Monster CFT. The chiral fermion parity of the free fermion implies that the Monster CFT is self-dual under the $\mathbb{Z}_{2A}$ orbifold, i.e. it enjoys the Kramers-Wannier duality. The Kramers-Wannier duality defect extends the Monster group to a larger category of topological defect lines that contains an Ising subcategory. We introduce the defect McKay-Thompson series defined as the Monster partition function twisted by the duality defect, and find that the coefficients can be decomposed into the dimensions of the (projective) irreducible representations of the Baby Monster group. We further prove that the defect McKay-Thompson series is invariant under the genus-zero congruence subgroup $16D^0$ of $PSL(2,\mathbb{Z})$.

研究动机与目标

• 理解蒙斯特CFT中拓撲缺陷線的性質，特別是那些推廣全局對稱性的缺陷。
• 識別並表徵蒙斯特CFT中的對偶性缺陷線，該缺陷線不與任何傳統全局對稱性相關。
• 透過對偶性缺陷及其模性質，建立怪獸月光理論的物理實現。
• 將蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2A}$與$\mathbb{Z}_{2B}$下的費米子化與已知的頂點算子代數（包括嬰兒怪獸代數與「Beauty and the Beast」SCFT）聯繫起來。

提出的方法

• 對蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2A}$對稱性下的費米子化進行，產生由嬰兒怪獸CFT與一個馬約拉納-外爾費米子組成的費米子CFT。
• 在蒙斯特CFT中構造非可逆拓撲缺陷線$\mathcal{N}$，類似於伊辛CFT中的克拉默斯-萬尼爾對偶性。
• 對環面分割函數應用模 $S$-對偶變換，以計算缺陷希爾伯特空間分割函數$Z^{\mathcal{N}}(\tau)$。
• 證明分割函數$Z^{\mathcal{N}}(\tau)$在$\Gamma_0(8)$下變換，具有$\pm 1$的乘子系統，並識別其不變性群$\widetilde{\Gamma}_{\mathcal{N}}$為$\Gamma^{0,0} \cup \Gamma^{1,0}$。
• 計算蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2B}$下的費米子化，並匹配其在NS與R扇區的分割函數與已知的「Beauty and the Beast」$\mathcal{N}=1$ SCFT譜。
• 利用$\mathcal{N}=1$ SCFT的$S$-矩陣分析缺陷分割函數的模性質，確認其與對偶性缺陷結構的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 蒙斯特CFT中的對偶性缺陷線性質為何？其如何推廣全局對稱性？
• RQ2 蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2A}$下的費米子化如何導致非可逆拓撲缺陷？
• RQ3 對偶性缺陷分割函數$Z^{\mathcal{N}}(\tau)$的模性為何？哪個同餘子群能保持其不變？
• RQ4 蒙斯特CFT在$\mathbb{Z}_{2B}$下的費米子化如何與「Beauty and the Beast」$\mathcal{N}=1$ SCFT相關？
• RQ5 是否可計算對偶性缺陷的缺陷希爾伯特空間並與已知CFT譜匹配？

主要发现

• 蒙斯特CFT中的對偶性缺陷線$\mathcal{N}$是非可逆的，源自於$\mathbb{Z}_{2A}$費米子化，其缺陷希爾伯特空間分割函數$Z^{\mathcal{N}}(\tau)$在$\Gamma_0(8)$下變換，具有$\pm 1$的乘子系統。
• $Z^{\mathcal{N}}(\tau)$的不變性群$\widetilde{\Gamma}_{\mathcal{N}}$被識別為$\Gamma^{0,0} \cup \Gamma^{1,0}$，為$\Gamma_0(8)$的指數2正規子群。
• $\mathbb{Z}_{2A}$費米子化產生的蒙斯特CFT為嬰兒怪獸CFT與一個馬約拉納-外爾費米子的張量積，兩者皆為共形且費米子型，其中心荷分別為$c = 47/2$與$c = 1/2$。
• $\mathbb{Z}_{2B}$費米子化產生「Beauty and the Beast」$\mathcal{N}=1$ SCFT，其在NS與R扇區的分割函數與[5]中計算結果相符。
• $\mathbb{Z}_{2B}$費米子化的R扇區分割函數$\tilde{Z}_R(\tau)$被發現為$-24$，與$\mathcal{N}=1$ SCFT的威滕指數一致。
• $\mathbb{Z}_{2B}$軌物的蒙斯特CFT重現了Leech格點CFT，其分割函數$Z_{\text{Leech}}(\tau)$與已知的$j(\tau) - 744$形式相符。