[论文解读] Duality for admissible locally analytic representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Mar 29, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文在 $p$-进局部解析群 $G$ 的 $D(G,K)$-模的有界导出范畴上建立了一个对偶函子，扩展了经典的光滑对偶。它表明，通过关于对偶模的导出 Hom 实现的这一对偶，经适当度数平移后诱导出标准的光滑对偶，并计算了其在标准系列表示上的作用，得出在度数 $\dim P$ 处出现自对偶的 Ext-群。该构造依赖于分布代数 $D(G,K)$ 的近-Auslander-regular 结构及其与 Fréchet-Stein 代数的关系。

ABSTRACT

We study the problem of constructing a contragredient functor on the category of admissible locally analytic representations of a p-adic analytic group G. A naive contragredient does not exist. As a best approximation, we construct an involutive "duality" functor from the bounded derived category of modules over the distribution algebra of G with coadmissible cohomology to itself. On the subcategory corresponding to complexes of smooth representations, this functor induces the usual smooth contragredient (with a degree shift). Although we construct our functor in general we obtain its involutivity, for technical reasons, only in the case of locally Qp-analytic groups.

研究动机与目标

• 在 $p$-进局部解析群 $G$ 的 $D(G,K)$-模的有界导出范畴上构造一个对偶函子。
• 将经典的光滑对偶对偶性扩展到可识别局部解析表示的范畴。
• 证明当 $G$ 为局部 $\mathbb{Q}_p$-解析群时，所构造的对偶函子是自反的。
• 计算对偶函子在标准系列表示上的作用，并证明其在度数 $\dim P$ 处诱导出自对偶性。
• 建立该对偶函子与 Auslander 正则环的全局对偶 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$ 之间的联系，该联系适配于 $D(G,K)$ 的非 Auslander 正则但近乎正则的结构。

提出的方法

• 将对偶函子构造为 $R\mathrm{Hom}_{D(G,K)}(-, \mathfrak{D}_K(G))$，其中 $\mathfrak{D}_K(G)$ 是 $G$ 上紧支集局部解析函数空间的对偶模。
• 利用 $D(G,K)$ 作为 $D(H,K)$-模是自由的这一事实，其中 $H \subset G$ 是某紧开子群，且 $D(H,K)$ 是 Fréchet-Stein 代数。
• 利用当 $A$ 是 Auslander 正则 Banach 代数时，共伴随 $A$-模 $M$ 的 $\mathrm{Ext}^*_A(M, A)$ 的共伴随性。
• 应用 Shapiro 引理，将 $D(G,K)$-模与 $D(H,K)$-模关联，并转移对偶数据。
• 利用 $o[[P_0]]$ 的诺特性及 $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$ 的平坦性，将 $K_{\chi^{-1}}$ 作为 $D(P_0,K)$-模进行解析。
• 应用命题 6.4，通过向 $D(P,K)$-模的基变换计算 $\mathrm{Ext}^*_{D(G,K)}(\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime, \mathfrak{D}_K(G))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当朴素的对偶表示不存在时，如何为可识别局部解析表示构造一个对偶函子？
• RQ2 在共伴随 $D(G,K)$-模的导出对偶是否在光滑表示子范畴上，经度数平移后限制为标准的光滑对偶？
• RQ3 所构造的对偶函子在局部 $\mathbb{Q}_p$-解析群的共伴随模有界导出范畴中是否为自反的？
• RQ4 对由抛物子群 $P$ 诱导的标准系列表示，对偶函子的作用是什么？
• RQ5 在 $D(G,K)$ 这类近乎-Auslander-regular 环的背景下，对偶函子如何与全局对偶 $M \mapsto R\mathrm{Hom}_A(M,A)$ 相关联？

主要发现

• 当 $G$ 为局部 $\mathbb{Q}_p$-解析群时，共伴随 $D(G,K)$-模有界导出范畴上的对偶函子是自反的。
• 该对偶函子在光滑表示子范畴上诱导出标准的光滑对偶，仅需度数平移。
• 对于标准系列表示 $\mathrm{Ind}_P^G(\chi)^\prime$，其与 $\mathfrak{D}_K(G)$ 的非零 $\mathrm{Ext}^*$ 群仅出现在度数 $\dim P$，且同构于 $\mathrm{Ind}_P^G((\chi \delta_P)^{-1})^\prime$。
• 对偶模 $\mathfrak{D}_K(G)$ 同构于 $G$ 上紧支集局部解析函数空间的强对偶，经模特征扭后。
• $\mathrm{Ext}^*_{D(P,K)}(K_{\chi^{-1}}, \mathfrak{D}_K(P))$ 在度数 $\dim P$ 处同构于 $K_{(\chi \delta_P)^{-1}}$，其余度数为零，作为右 $D(P,K)$-模。
• $K_{\chi^{-1}}$ 作为 $D(P_0,K)$-模的解析存在，源于 $o[[P_0]]$ 的诺特性及映射 $D^c(P_0,K) \to D(P_0,K)$ 的平坦性。