[论文解读] Duality for Lie-Rinehart algebras and the modular class

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Feb 8, 1997

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文通过与基本类的cap积，为李-里纳赫代数引入了对偶性理论，推广了李代数和德拉姆上同调中的庞加莱对偶性。它通过广义Picard群中的内在模定义了模类，并表明具有适当性质的泊松代数可产生该类，从而在泊松同调中导出双线性配对。

ABSTRACT

We introduce a notion of duality for a Lie-Rinehart algebra giving certain bilinear pairings in its cohomology generalizing the usual notions of Poincaré duality in Lie algebra cohomology and de Rham cohomology. We show that the duality isomorphisms can be given by a cap product with a suitable fundamental class and hence may be taken natural in any reasonable sense. Thereafter, for a Lie-Rinehart algebra satisfying duality, we introduce a certain intrinsic module which provides a crucial ingredient for the construction of the bilinear pairings. This module determines a certain class, called modular class of the Lie-Rinehart algebra, which lies in a certain Picard group generalizing the abelian group of flat line bundles on a smooth manifold. Finally, we show that a Poisson algebra having suitable properties determines a certain module for the corrresponding Lie-Rinehart algebra and hence modular class whose square yields the module and characteristic class for its Lie-Rinehart algebra mentioned before. In particular, this gives rise to certain bilinear pairings in Poisson homology.

研究动机与目标

• 通过上同调中的对偶同构，将庞加莱对偶性推广至李-里纳赫代数。
• 通过与基本类的cap积，定义一个诱导对偶性的规范基本类。
• 将模类定义为广义Picard群中的特征类。
• 通过模构造，将具有适当性质的泊松代数与李-里纳赫代数联系起来，从而产生模类。
• 通过模类及其平方，在泊松同调中建立双线性配对。

提出的方法

• 通过上同调中的基本类与cap积，为李-里纳赫代数引入对偶结构。
• 构造与李-里纳赫代数相关联的内在模，以确定模类。
• 将模类定义为广义Picard群中的元素，扩展了光滑流形上平坦线丛的概念。
• 证明模类的平方对应于李-里纳赫代数模的特征类。
• 利用对偶同构在上同调中定义双线性配对，推广经典对偶定理。
• 通过模论构造，在具有适当性质的泊松代数与李-里纳赫代数之间建立对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将庞加莱对偶性推广至李-里纳赫代数的设定？
• RQ2 基本类在诱导李-里纳赫上同调中的对偶同构中起什么作用？
• RQ3 李-里纳赫代数的模类如何定义？其在广义Picard群中的意义为何？
• RQ4 泊松代数以何种方式导出李-里纳赫代数及其模类？
• RQ5 模类及其平方在泊松同调中产生何种双线性配对？

主要发现

• 通过与基本类的cap积，在李-里纳赫上同调中建立了对偶同构，推广了经典对偶定理。
• 模类被定义为广义Picard群中的元素，扩展了光滑流形上平坦线丛的概念。
• 模类的平方给出了与李-里纳赫代数模相关的特征类。
• 对于具有适当性质的泊松代数，其关联的李-里纳赫代数继承了一个规范模与模类。
• 这些构造在泊松同调中导出了明确定义的双线性配对，将对偶性推广至泊松结构。
• 对偶同构在范畴论意义上是自然的，因为它们源于一个规范基本类。