[论文解读] Duality for Min-Max Orderings and Dichotomy for Min Cost Homomorphisms

Arash Rafiey, Pavol Hell|ArXiv.org|Jul 17, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通過對稱可逆對的禁止結構特徵，建立了有向圖具備最小-最大排序的特徵描述，從而提出了一種多項式時間識別算法。該文證明了有向圖中最小代價同態問題的二分法：MinHOM(H) 若且唯若 H 接受擴展的最小-最大排序，則為多項式時間可解，否則為 NP-完全。

ABSTRACT

Min-Max orderings correspond to conservative lattice polymorphisms. Digraphs with Min-Max orderings have polynomial time solvable minimum cost homomorphism problems. They can also be viewed as digraph analogues of proper interval graphs and bigraphs. We give a forbidden structure characterization of digraphs with a Min-Max ordering which implies a polynomial time recognition algorithm. We also similarly characterize digraphs with an extended Min-Max ordering, and we apply this characterization to prove a conjectured form of dichotomy for minimum cost homomorphism problems.

研究动机与目标

• 通過一種新型禁止結構——特別是對稱可逆對，來特徵描述具有最小-最大排序的有向圖。
• 將特徵描述推廣至具有擴展最小-最大排序的有向圖，此類特徵與最小代價同態問題密切相關。
• 通過證明除非 H 接受擴展最小-最大排序，否則 MinHOM(H) 為 NP-完全，從而解決關於一般有向圖中 MinHOM(H) 二分法的猜想。
• 為具有最小-最大排序的有向圖提供多項式時間識別算法。
• 統一並推廣先前在最小代價同態問題背景下關於同態問題二分法的結果。

提出的方法

• 引入有向圖中最小-最大排序的概念，作為較早的區間圖與雙圖的推廣。
• 定義對稱可逆對作為禁止結構，用以特徵描述最小-最大排序的缺失。
• 利用對稱可逆對的缺失作為對偶條件，來特徵描述具有最小-最大排序的有向圖。
• 將特徵描述擴展至包含擴展最小-最大排序，此類排序對 MinHOM(H) 的多項式時間可解性至關重要。
• 應用結構圖論與基於路徑的構造方法（例如無限路徑、同餘路徑）來證明當禁止結構存在時的 NP-完全性。
• 利用同態性質與有向環中閉路的淨長度分析，建立二分法。

实验结果

研究问题

• RQ1 什麼結構條件能特徵描述具有最小-最大排序的有向圖？
• RQ2 如何特徵描述擴展最小-最大排序？其在最小代價同態問題複雜度中的作用為何？
• RQ3 對於一般有向圖，若 H 不接受擴展最小-最大排序，則 MinHOM(H) 為 NP-完全的猜想是否成立？
• RQ4 能否為具有最小-最大排序的有向圖構建多項式時間識別算法？
• RQ5 最小-最大排序與有向圖中保守格多形態存在的關係為何？

主要发现

• 具有最小-最大排序的有向圖可由對稱可逆對的缺失來特徵描述，從而實現禁止結構特徵化。
• 存在一種基於檢測對稱可逆對缺失的多項式時間識別算法，適用於具有最小-最大排序的有向圖。
• 有向圖 H 中存在擴展最小-最大排序，是 MinHOM(H) 多項式時間可解的必要且充分條件。
• 若 H 包含對稱可逆 k-對或淨長度不可被 k 整除的有向環，則 MinHOM(H) 為 NP-完全。
• 證明了文獻 [18] 中關於一般有向圖中 MinHOM(H) 二分法的猜想：MinHOM(H) 多項式時間可解當且僅當 H 接受擴展最小-最大排序。
• 證明依賴於構造同餘路徑，並利用同態性質，將問題在禁止結構存在時簡化為已知的 NP-完全情形。