[论文解读] Duality for partial group actions

Christian Lomp|ArXiv.org|Nov 6, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 19

一句话总结

本文通过将Cohen-Montgomery对偶性推广至偏群作用，建立了偏群作用的对偶理论。结果表明，偏斜群环 $\tau*_{\alpha}G$ 与对偶群环 $k[G]^*$ 的 smash 乘积同构于直积 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$，其中 $\mathbf{e}$ 是 $M_n(\mathcal{A})$ 中的一个特定幂等元，且 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ 嵌入为 $\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 中的一个可分子代数，从而将经典对偶性推广至偏作用情形。

ABSTRACT

Given a finite group G acting as automorphisms on a ring A, the skew group ring A*G is an important tool for studying the structure of G-stable ideals of A. The ring A*G is G-graded, i.e.G coacts on A*G. The Cohen-Montgomery duality says that the smash product A*G#k[G]^* of A*G with the dual group ring k[G]^* is isomorphic to the full matrix ring M_n(A) over A, where n is the order of G. In this note we show how much of the Cohen-Montgomery duality carries over to partial group actions in the sense of R.Exel. In particular we show that the smash product (A*_αG)#k[G]^* of the partial skew group ring A*_αG and k[G]^* is isomorphic to a direct product of the form K x eM_n(A)e where e is a certain idempotent of M_n(A) and K is a subalgebra of (A *_αG)#k[G]^*. Moreover A*_αG is shown to be isomorphic to a separable subalgebra of eM_n(A)e. We also look at duality for infinite partial group actions and for partial Hopf actions.

研究动机与目标

• 将经典群作用下的Cohen-Montgomery对偶性推广至偏群作用情形。
• 研究有限群 $G$ 的偏作用下 smash 乘积 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ 的结构。
• 以矩阵环与幂等元的形式确定 smash 乘积的像。
• 将对偶性推广至无限偏群作用及偏霍普夫作用情形。

提出的方法

• 使用偏斜群环 $\mathcal{A}*_{\alpha}G = \bigoplus_{g\in G}D_g$，其乘法定义为 $(a\overline{g})(b\overline{h}) = \alpha_g(\alpha_{g^{-1}}(a)b)\overline{gh}$。
• 通过由中心幂等元生成的理想 $D_g = \mathcal{A}1_g$ 定义 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ 上的 $G$-分次。
• 引入作用 $g\cdot a = \alpha_g(a1_{g^{-1}})$ 以定义 $k$-线性映射 $k[G]\otimes\mathcal{A} \to \mathcal{A}$。
• 利用对偶群环 $k[G]^*$（其基为 $p_g$）构造 smash 乘积 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$。
• 识别出 smash 乘积的像是 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$，其中 $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$。
• 应用广义的Blattner-Montgomery对偶性于偏霍普夫作用，使用偏smash乘积 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在偏群作用的背景下，Cohen-Montgomery对偶性的多少内容仍然成立？
• RQ2 对于有限群 $G$ 的偏作用，smash 乘积 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ 的结构是什么？
• RQ3 能否通过该对偶性将偏斜群环 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ 嵌入到 $\mathcal{A}$ 上的矩阵代数中？
• RQ4 该对偶性如何推广至无限偏群作用及偏霍普夫作用？

主要发现

• smash 乘积 $(\mathcal{A}*_{\alpha}G)\#k[G]^*$ 同构于 $K \times \mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$，其中 $K$ 是一个子代数，$\mathbf{e}$ 是 $M_n(\mathcal{A})$ 中的中心幂等元。
• 偏斜群环 $\mathcal{A}*_{\alpha}G$ 同构于 $\mathbf{e}M_n(\mathcal{A})\mathbf{e}$ 中的一个可分子代数。
• 映射 $\Phi: \mathcal{A}\otimes H\#H^* \to \mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H)$ 定义为 $a\otimes h\#f \mapsto \phi(a)\psi(h\#f)$，是一个代数同态。
• 偏smash乘积 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$ 在 $\Phi$ 下的像是 $\mathbf{e}(\mathcal{A}\otimes \mathrm{End}_k(H))\mathbf{e}$ 的子集。
• 幂等元 $\mathbf{e} = \sum_i (b_i\cdot 1)\otimes \rho(S^{-1}(p_i)\otimes 1)$ 满足 $\mathbf{e}^2 = \mathbf{e}$，且是 $\underline{\mathcal{A}\#H}\#H^*$ 中单位元的像。