[论文解读] Duality in Gerstenhaber algebras

Yves Félix, Luc Menichi+1 more|ArXiv.org|Nov 14, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 11

一句话总结

该论文在局部余幂零微分分次余代数的范畴内，建立了其对偶余代数 $C^\vee$ 与 cobar 构造 $\overline{\Omega}C$ 之间的 Hochschild 上同调的对偶性，并在有限性条件下证明了 Gerstenhaber 代数的同构。该对偶性为特征零下闭合定向流形的自由环路空间上同调上的 Chas-Sullivan 环路乘积提供了同伦实现。

ABSTRACT

Let $C$ be a differential graded coalgebra, $ \barΩC$ the Adams cobar construction and $C^\vee$ the dual algebra. We prove that for a large class of coalgebras $C$ there is a natural isomorphism of Gerstenhaber algebras between the Hochschild cohomologies $HH^\ast (C^\vee, C ^\vee)$ and $HH^\ast (\barΩC ; \barΩC)$. This result permits to describe a Hodge decomposition of the loop space homology of a closed oriented manifold, in the sense of Chas-Sullivan, when the field of coefficients is of characteristic zero.

研究动机与目标

• 为一大类微分分次余代数，建立 $C^\vee$ 与 $\overline{\Omega}C$ 的 Hochschild 上同调之间的对偶性。
• 为闭合定向流形的自由环路空间上同调上的 Chas-Sullivan 环路乘积结构提供同伦解释。
• 在有限性与非负性条件下，证明 $C^\vee$ 与 $\overline{\Omega}C$ 的 Hochschild 上同调作为 Gerstenhaber 代数同构。
• 通过自由模型与导子的微分分次李代数构造 Hochschild 复形之间的自然拟同构。

提出的方法

• 从 $\overline{\Omega}C$ 的 Hochschild 复形到 $C^\vee$ 的 Hochschild 复形构造一个同态 $\mathcal{D}$，并在上同调上诱导出一个映射。
• 使用与 $C^\vee$ 和 $\overline{\Omega}C$ 分别拟同构的自由模型 $(TV,d)$ 与 $(TW,d)$，以分析上同调结构。
• 引入扩展的微分分次李代数 $\widetilde{\rm Der}A = {\rm Der}A \oplus sA$，通过新的微分与括号结构来建模导子。
• 证明 $s{\bf C}^\ast(A;A)$ 与 ${{\bf C}}_\infty^\ast({\ell\!k} \oplus sV; {\ell\!k} \oplus sV)$ 分别与 $\widetilde{\rm Der}A$ 拟同构，从而将 Hochschild 上同调与 $A_\infty$-余代数上同调联系起来。
• 利用 $s{\rm HH}^\ast(A;A)$ 在拟同构下的自然性，将 $H(\widetilde{\rm Der}(TW,d))$ 与 $s{\rm HH}^\ast(C^\vee;C^\vee)$ 及 $H(\widetilde{\rm Der}(TV,d))$ 关联，从而确立对偶性。
• 借助几何链上的 $A_\infty$-双模与 $\infty$-内积结构，将代数对偶性与 Chas-Sullivan 环路乘积联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于局部余幂零微分分次余代数，是否存在 $HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ 与 $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 之间的自然同构？
• RQ2 该同构能否作为保持乘积与括号结构的 Gerstenhaber 代数同构实现？
• RQ3 该对偶性是否能为特征零下环路空间上同调的 Hodge 分解提供同伦或代数解释？
• RQ4 在 Hochschild 上同调与 Gerstenhaber 代数结构方面，cobar 构造 $\overline{\Omega}C$ 与对偶代数 $C^\vee$ 有何关系？
• RQ5 该对偶性能否通过 Chas-Sullivan Batalin-Vilkovisky 代数结构扩展至闭合定向流形的完整环路空间上同调？

主要发现

• 当 $C$ 在每个次数上有限生成，且满足 $C = C^{\geq 0}$ 或 $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$ 时，$HH^\ast(C^\vee; C^\vee)$ 与 $HH^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 之间存在自然的 Gerstenhaber 代数同构。
• 当基域 $\ell\!k$ 的特征为零时，若 $H(C)$ 在每个次数上有限生成，且满足 $C = C^{\geq 0}$ 且 $H^0(C) = \ell\!k$，或 $\overline{C} = \overline{C}_{\geq 2}$，则同构 $H(\mathcal{D})$ 关于拟同构是自然的。
• 该同构通过微分分次李代数之间的拟同构实现：$s{\bf C}^\ast(\overline{\Omega}C; \overline{\Omega}C)$ 与 $\widetilde{\rm Der}(\overline{\Omega}C)$ 之间，以及 $C^\vee$ 的类似情形，将 Hochschild 上同调与自由模型上的导子联系起来。
• 扩展的李代数 $\widetilde{\rm Der}A$ 在 Hochschild 上同调与 $A_\infty$-余代数上同调之间架起桥梁，满足 $s{\bf C}^\ast(A;A) \simeq \widetilde{\rm Der}A \simeq {\bf C}_\infty^\ast(\ell\!k \oplus sV; \ell\!k \oplus sV)$。
• 该对偶性使得在特征零下，闭合定向流形 $M$ 的环路空间上同调 $\mathbb{H}_\ast(M^{S^1})$ 具有 Hodge 分解，其依据是 Chas-Sullivan Batalin-Vilkovisky 代数结构。
• 该构造与几何链上的 $A_\infty$-双模及 $\infty$-内积结构相容，确认了环路乘积与括号的代数起源。