[论文解读] Duality in Persistent Homology of Images

Adélie Garin, Teresa Heiss+3 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文建立了用于表示灰度数字图像的两种对偶过滤立方复形——V-构造（像素作为顶点）与T-构造（像素作为高维胞腔）——的持久同调条形码之间的对偶关系。证明了它们条形码之间存在双射，通过反转过滤值并改变维度至 $d-k-1$ 的变换，实现了两种模型之间的转换，从而可利用任一构造的最优软件进行高效计算，并将方法推广至高维图像分析。

ABSTRACT

We derive the relationship between the persistent homology barcodes of two dual filtered CW complexes. Applied to greyscale digital images, we obtain an algorithm to convert barcodes between the two different (dual) topological models of pixel connectivity.

研究动机与目标

• 建立数字图像分析中对偶过滤CW复形的持久同调条形码之间的数学对偶性。
• 解决在图像拓扑计算中选择V-构造（像素为顶点）与T-构造（像素为胞腔）之间的难题。
• 通过利用对偶构造中更低维度的条形码，实现高维中持久同调的高效计算。
• 将亚历山大对偶性推广至过滤立方复形的语境下，适用于数字图像，突破以往仅限于球面或标准同调的限制。

提出的方法

• 通过胞腔对偶定义对偶过滤复形 $(X,f)$ 与 $(X^*,f^*)$：$X$ 中的 $k$-胞腔对应于 $X^*$ 中的 $(d-k)$-胞腔，邻接关系反转，过滤顺序满足 $f^*(\sigma^*) = -f(\sigma)$。
• 在 $(X,f)$ 的绝对上链复形与 $(X^*,f^*)$ 的相对链复形之间建立偏移的过滤链同构，诱导出持久上同调与同调的同构。
• 利用文献[15]的结果，将同构扩展为对偶复形的绝对持久同调条形码之间的双射。
• 通过构建对偶过滤复形 $I_V$（V-构造）与 $I_T$（T-构造），将对偶性应用于数字图像，其中 $f^* = -f$。
• 采用一点紧化方法，引入大值 $N$ 处理无限持久性，随后取极限 $N \to \infty$，推导出最终的变换规则。
• 通过变换 $[p,q)_k \leftrightarrow [-q,-p)_{d-k-1}$ 和 $[p,\infty)_k \leftrightarrow [-p,\infty)_{d-k}$，推导出 $I_V$ 与 $I_T$ 之间条形码的转换算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对偶性下，灰度图像的V-构造与T-构造的持久同调条形码之间有何关系？
• RQ2 能否利用为对偶模型（如T-构造）设计的软件，高效计算某一拓扑模型（如V-构造）的条形码？
• RQ3 在数字图像中，将条形码在对偶过滤复形之间映射的精确数学变换是什么？
• RQ4 持久同调中的对偶性如何将经典亚历山大对偶性推广至过滤立方复形与数字图像？
• RQ5 能否通过使用对偶构造中更低维度的条形码，更高效地计算高维持久同调（如 $Dgm_2$）？

主要发现

• 对偶过滤复形的持久同调条形码之间存在双射：$[p,q)_k \in Dgm_k(X,f)$ 映射至 $[-q,-p)_{d-k-1} \in Dgm_{d-k-1}(X^*,f^*)$。
• 无限持久性区间按如下方式变换：$[p,\infty)_k \leftrightarrow [-p,\infty)_{d-k}$，在紧化下保持对偶性。
• 该变换允许在数字图像的V-构造与T-构造条形码之间相互转换，从而可使用任一模型的最优软件。
• 通过计算对偶构造的 $Dgm_{d-k-1}$，可高效计算 $Dgm_k$（$k > 0$）的条形码，降低计算成本。
• 该对偶性可推广至离散莫射理论中的抽象链复形，推广了[1]中的结果，并精炼了对偶V-路径与莫射函数。
• 该方法推广并拓展了先前关于扩展持久同调与数字拓扑的研究，消除了对球面、标准同调或特定函数的限制。