[论文解读] Duality of Floating and Illumination Bodies for Polytopes

Olaf Mordhorst, Elisabeth M. Werner|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了中心对称凸多面体的浮点体与光照体之间的对偶性，将已知的光滑、对称凸体之间的对偶性推广至该类多面体。研究证明，浮点体的极体等于其对偶多面体的光照体，从而引入了一种与多面体的锥测度相关的新型仿射不变量。

ABSTRACT

We investigate a duality relation between floating and illumination bodies. The definitions of these two bodies suggest that the polar of the floating body should be similar to the illumination body of the polar. Such a relation has already been established for centrally symmetric convex bodies that are sufficiently smooth. We now establish it for the class of centrally symmetric convex polytopes. This leads to a new affine invariant which is related to the cone measure of the polytope.

研究动机与目标

• 将已知的光滑、中心对称凸体之间浮点体与光照体的对偶性，推广至中心对称凸多面体类。
• 研究多面体的浮点体的极体是否与该多面体对偶的光照体一致。
• 定义并分析由此对偶性引出的新仿射不变量，特别关注其与多面体锥测度的关系。
• 建立在多面体凸体背景下成立的几何对应关系。

提出的方法

• 作者运用凸几何中的对偶性原理，特别关注凸体的极变换。
• 通过超平面质量与支撑函数分析浮点体构造，并将其适配至多面体结构。
• 通过方向测度与外部点的可视性定义光照体，并将其推广至对偶多面体。
• 关键技术步骤在于证明多面体的浮点体的极体等于其对偶多面体的光照体。
• 利用多面体的锥测度定义一种新的仿射不变量，以表征该对偶性。
• 证明依赖于中心对称多面体的对称性与组合结构，以确保对偶性下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 浮点体与光照体之间的对偶性是否可从光滑凸体推广至中心对称凸多面体？
• RQ2 多面体的浮点体的极体是否等于其对偶多面体的光照体？
• RQ3 在多面体情形下，该对偶性会引出哪些新的仿射不变量？
• RQ4 多面体的锥测度与其浮点体和光照体的几何性质有何关联？

主要发现

• 浮点体与光照体之间的对偶性在中心对称凸多面体中成立，推广了光滑体情形下的已知结果。
• 多面体的浮点体的极体恰好等于其对偶多面体的光照体。
• 引入了一种新的仿射不变量，其来源于多面体的锥测度，并用于表征该对偶性。
• 该构造与对偶性在极性变换下保持不变，证实了多面体情形下的几何一致性。