[论文解读] Duality of non-exposed faces

Stephan Weis|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过法锥与面和接触锥之间的Galois联络，建立了凸体中非暴露面的对偶理论。证明了非暴露面的共轭面是奇异的（具有不完整的法锥），并通过平面凸体中的混合角点与自由角点对其进行了刻画，为对偶凸体对中的非暴露点提供了完整的对偶框架。

ABSTRACT

Given any polar pair of convex bodies we study its conjugate face maps and we characterize conjugate faces of non-exposed faces in terms of normal cones. The analysis is carried out using the positive hull operator which defines lattice isomorphisms linking three Galois connections. One of them assigns conjugate faces between the convex bodies. The second and third Galois connection is defined between the touching cones and the faces of each convex body separately. While the former is well-known, we introduce the latter in this article for any convex set in any finite dimension. We demonstrate our results about conjugate faces with planar convex bodies and planar self-dual convex bodies, for which we also include constructions.

研究动机与目标

• 通过法锥刻画对偶凸体对中非暴露面的对偶性。
• 在接触锥与凸集的面之间建立Galois联络，提出适用于一般有限维凸集的新对偶框架。
• 证明非暴露面的共轭面是奇异的，即其法锥维数至少为二。
• 通过双凸体沿直线的对称拼接，系统构造无非暴露点的平面自对偶凸体。
• 将理论应用于量子信息与凸代数几何，特别是在信息测度的不连续性及行列式簇的研究中。

提出的方法

• 使用正锥包算子定义三个Galois联络之间的格同构：一个在对偶凸体之间，另两个在每个体的接触锥与面之间。
• 提出一种新的凸集接触锥与面之间的Galois联络，该联络具有一般性且适用于任意有限维空间。
• 对非暴露面应用共轭面映射，表明其在对偶体中对应于混合角点或自由角点。
• 利用支撑函数与径向函数，通过单位球面参数化对偶凸体的边界。
• 应用[Ro]中的推论16.5.2计算凸包的对偶，从而实现对偶体与自对偶体的显式构造。
• 应用Carathéodory定理，证明单位圆上稠密集的凸包具有紧致性且无非暴露点。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸体的非暴露面如何通过共轭面映射与对偶极体的面相关联？
• RQ2 在对偶凸体对中，非暴露面的共轭面具有何种几何与拓扑特征？
• RQ3 能否系统地构造无非暴露点的平面自对偶凸体？其存在性需满足何种条件？
• RQ4 不完整的法锥如何与奇异面相关联？在平面凸体中如何描述它们？
• RQ5 在二维凸集中，混合角点与自由角点在非暴露点对偶性中起何种作用？

主要发现

• 共轭面映射限制在平面凸体的非暴露点集上，构成到其对偶体中混合角点与自由角点集的满射。
• 与非暴露面共轭的面是奇异的，即其法锥维数至少为二，且此类面可被不完整的法锥完全刻画。
• 无非暴露点的平面凸体的所有角点均为多面体角点，此类体可通过沿直线对偶凸体进行对称拼接构造而成。
• 在平面凸体中，不完整的法锥对应于混合角点或自由角点，其几何特征为边界同时表现出切线与锥形行为。
• 存在无非暴露点的自对偶凸体，可通过将一个凸体与其对偶体沿一条直线组合构造，前提是原体在对称轴上具有光滑极值点。
• 例5.5通过取单位圆上一个稠密且对称的子集的凸包，构造出具有无穷多个角点（全为多面体角点）的自对偶凸体，且确保无非暴露点存在。