[论文解读] Duality of symmetric spaces and polar actions

Andreas Kollross|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文建立了非紧型黎曼对称空间及其紧致对偶空间上等距作用之间的对偶性，证明一个作用是（超）极的当且仅当其对偶作用也是（超）极的。该方法通过将非紧致对称空间上的作用归约为其紧致对偶，实现了对非紧致对称空间上极作用和超极作用的分类，从而得到新的例子并推广了已知结果。

ABSTRACT

We study isometric actions on Riemannian symmetric spaces of noncompact type which are induced by reductive algebraic subgroups of the isometry group. We show that for such an action there exists a corresponding isometric action on a dual compact symmetric space, which reflects many properties of the original action. For example, the principal isotropy subgroups of both actions are locally isomorphic and the dual action is (hyper)polar if and only if the original action is (hyper)polar. This fact provides many new examples for polar actions on symmetric spaces of noncompact type and we use duality as a method to study polar actions by reductive algebraic subgroups in the isometry group of an irreducible symmetric space. Among other applications, we show that they are hyperpolar if the space is of type III and of higher rank; we prove that such actions are orbit equivalent to Hermann actions if they are hyperpolar and of cohomogeneity greater than one. Furthermore, we classify polar actions by reductive algebraic subgroups of the isometry group on noncompact symmetric spaces of rank one.

研究动机与目标

• 建立非紧型对称空间及其紧致对偶空间上等距作用之间的对偶性。
• 研究非紧致对称空间上的极作用与超极作用是否可通过其在紧致对偶空间上的对偶作用来研究。
• 利用对偶性将紧致对称空间上的分类结果推广到非紧致对称空间。
• 确定非紧致对称空间上的极作用为超极作用的条件。
• 通过可约代数子群对非紧致对称空间（秩为一）上的极作用进行分类。

提出的方法

• 利用非紧型与紧致型对称空间之间的对偶性，特别是通过李代数分解 𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔭 及其复化。
• 应用非紧致对称空间的等距群的可约代数子群与其在紧致对偶空间中的对偶子群之间的对应关系。
• 依赖于对偶作用的主稳定子群局部同构的事实，从而保持极性与超极性等几何性质。
• 采用如下判别准则：一个作用是（超）极的当且仅当其对偶作用也是（超）极的，从而实现分类结果的转移。
• 利用紧致对称空间上的分类结果——特别是秩为一和更高秩空间的结果——推断非紧致作用的性质。
• 应用关于 Hermann 作用、共轭作用及对称对的已知结果，构造对偶作用并验证其几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 非紧型非紧致对称空间上的极作用是否对应于其紧致对偶空间上的极作用？
• RQ2 在何种条件下，非紧致对称空间上的极作用必然是超极的？
• RQ3 能否通过双对应性将紧致对称空间上超极作用的分类结果推广到非紧致对称空间？
• RQ4 在高阶不可约非紧致对称空间上是否存在非平凡的极作用？若存在，其条件是什么？
• RQ5 可约代数子群在非紧致对称空间（秩为一）上的极作用具有何种结构？

主要发现

• 非紧型对称空间上的等距作用是（超）极的，当且仅当其在紧致对偶空间上的对偶作用也是（超）极的。
• 对偶构造在非紧致型对称空间上提供了大量新的极作用与超极作用的例子。
• 作为其在紧致对偶空间上对偶作用的推论，所有在八元数射影平面 𝕆ℙ² 上的极作用均具有全测地轨道。
• 对于类型 III 及更高秩的不可约对称空间，其等距群的可约代数子群的任意极作用均为超极作用。
• 非紧致对称空间上共轭作用大于一的超极作用与 Hermann 作用轨道等价。
• 通过双对应性完成了对非紧致对称空间（秩为一）上极作用的分类，表明所有此类作用均源自其对偶紧致作用。