[论文解读] Duality via cycle complexes

Thomas Geisser|ArXiv.org|Aug 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过使用 Bloch 的相对零循环复形作为对偶复形，建立了在完美域、有限域、混合特征的局部域以及数域中整环上的分离有限型概形上，挠 étale 层的对偶定理。关键结果是一个拟同构 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $，该结果统一了 $p$-进与 $\bar{\bbQ}_l$-进对偶理论，并将 Rojtman 定理推广至正规射影概形。

ABSTRACT

We show that Bloch's complex of relative zero-cycles can be used as a dualizing complex over perfect fields and number rings. This leads to duality theorems for torsion sheaves on arbitrary separated schemes of finite type over algebraically closed fields, finite fields, local fields of mixed characteristic, and rings of integers in number rings, generalizing results which so far have only been known for smooth schemes or in low dimensions, and unify the p-adic and l-adic theory. As an application, we generalize Rojtman's theorem to normal, projective schemes.

研究动机与目标

• 将挠 étale 层的对偶定理从光滑概形和低维情形推广至更一般情形。
• 通过单一的对偶复形统一 $p$-进与 $\bar{\bbQ}_l$-进对偶理论。
• 将 Rojtman 关于零循环的 Albanese 映射定理推广至代数闭域上的正规射影概形。
• 在数域的整环和混合特征的局部域上建立对偶性。
• 为 Chow 群的零循环提供 Albanese 代数群的同调框架。

提出的方法

• 在完美域和特征 0 的 Dedekind 环上，使用 Bloch 的相对零循环复形 $ \bbZ^c_X $ 作为对偶复形。
• 通过伴随关系 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $ 推导出通过拟同构实现的对偶性。
• 利用 $ \bbZ^c_X $ 在闭嵌入下的纯量性以及同伦不变性 $ p_*\bbZ^c_{X\times\bbA^r}(n) \to \bbZ^c_X(n-r)[2r] $。
• 依赖 Beilinson-Lichtenbaum 猜想，将 $ \bbZ^c_X/m(n) $ 的 Zariski 与 étale 上同调联系起来。
• 使用谱序列 $ E^{1}_{s,t} = \bigoplus_{x\to X^{(s)}} H^{s-t}(k(x), \bbZ(s-n)) \to H_{s+t}(X, \bbZ^c(n)) $ 计算上同调。
• 应用 Artin-Verdier 对偶性和紧支集上同调，推导出在数环和局部域上的完美配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bloch 的零循环复形能否作为非光滑概形上对偶定理的对偶复形？
• RQ2 如何在单一框架下统一挠层的 $p$-进与 $\bar{\bbQ}_l$-进对偶理论？
• RQ3 Rojtman 关于 Albanese 映射的定理是否可推广至代数闭域上的正规射影概形？
• RQ4 在数域整环上的概形中，$ \bbZ^c_X $ 在对偶性中起什么作用？
• RQ5 在混合特征下，对偶复形 $ \bbZ^c_X $ 在基变换与紧支集上同调下的行为如何？

主要发现

• 对于完美域 $ k $ 上的分离有限型概形 $ f:X\to Y $，存在拟同构 $ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_Y(Rf_!F, \bbZ^c_Y) $，从而确立了对偶性。
• 在代数闭域上，对构造性层 $ \text{F} $，存在完美配对 $ \text{Ext}^{1-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $，且有同构 $ CH_0(X,i,\bbZ/m) \to H^i_c(X_{\text{et}}, \bbZ/m)^* $。
• 在代数闭域上，有短正合列 $ 0 \to CH_0(\bar{X},1)^{\text{hat}}_G \to \bar{\bbpi}_1^{ab}(X)^0 \to CH_0(\bar{X})^G \to 0 $，且 $ \bar{\bbpi}_1^{ab}(X)^0 \to CH_0(\bar{X},1)^{\text{hat}}_G $ 成立。
• 在有限域上，建立了完美配对 $ \text{Ext}^{2-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $，推广了 Deninger、Spieß 与 Moser 的结果。
• 在特征 0 的 Dedekind 环（具有完美剩余域）上，若假设 Beilinson-Lichtenbaum 猜想成立，则有相同对偶性：$ R\text{Hom}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \to R\text{Hom}_S(Rf_!F, \bbZ^c_S) $。
• 在数域整环上，通过 Artin-Verdier 对偶性获得完美配对 $ \text{Ext}^{2-i}_X(\text{F}, \bbZ^c_X) \times H^i_c(X_{\text{et}}, \text{F}) \to \bbQ/\bbZ $，推广了 Milne 与 Spieß 的结果。