[论文解读] Dualizable link homology

Alexei Oblomkov, Lev Rozansky|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种可在多项式环 R(L) = C[x₁,y₁,…,xℓ,yℓ] 上定义的可对偶的三重分次链同调理论 HXY(L)，并配备一个傅里叶对偶函子 F，其作用为交换 xᵢ ↔ yᵢ 并将 q 反向。该理论满足范畴化的 q → 1/q 对称性，从而证明任意扭结的超多项式均为回文式：PK(a,q,t) = PK(a,t⁻¹,t)。此结果扩展了先前的构造，并对 HOMFLY-PT 多项式的对偶性质实现了范畴化。

ABSTRACT

We modify our previous construction of link homology in order to include a natural duality functor $\mathfrak{F}$. To a link $L$ we associate a triply-graded module $HXY(L)$ over the graded polynomial ring $R(L)=\mathbb{C}[x_1,y_1,\dots,x_\ell,y_\ell]$. The module has an involution $\mathfrak{F}$ that intertwines the Fourier transform on $R(L)$, $\mathfrak{F}(x_i)=y_i$, $\mathfrak{F}(y_i)=x_i$. In the case when $\ell=1$ the module is free over $R(L)$ and specialization to $x=y=0$ matches with the triply-graded knot homology previously constructed by the authors. Thus we show that the corresponding super-polynomial satisfies the categorical version of $q o 1/q$ symmetry. We also construct an isotopy invariant of the closure of a dichromatic braid and relate this invariant to $HXY(L)$.

研究动机与目标

• 构建一个具有内在对偶函子 F 的链同调理论，该函子与多项式环 R(L) 上的傅里叶变换相互作用。
• 证明任意扭结的超多项式在变换 q → 1/q 下为回文式，范畴化地实现 HOMFLY-PT 多项式已知的对称性。
• 将 [OR18d] 的三重分次同调扩展为在马克夫移动下不变的导出范畴对象，并在傅里叶对偶性下保持不变。
• 将同调与矩阵因子化及双色辫子的迹函子联系起来，确立闭包的同痕不变性。
• 推测与旗 Hilbert 算法、有理 Cherednik 代数及链不变量的 D-模量子化之间的联系。

提出的方法

• 定义 Tq,t-等变 RpL)-模的导出范畴 Dper_Tq,t(RpL))，其中 RpL) = C[x₁,y₁,…,xℓ,yℓ]。
• 在该范畴上引入一个傅里叶函子 F，其作用为 F(xᵢ) = yᵢ，F(yᵢ) = -xᵢ，F(q) = tq⁻¹，F(t) = t。
• 通过从双色辫子的范畴群到矩阵因子化范畴的同态，为辫子 β 的闭包构造一个导出范畴中的对象 EpL(β))。
• 证明 EpL(β)) 在马克夫移动和傅里叶函子 F 下不变，因此 F(EpL)) ≅ EpL)。
• 应用整体截面得到同调模 HXY(L) = RΓ(EpL()))，其继承了对偶结构与回文分次。
• 通过矩阵因子化上的迹函子定义可闭合双色辫子的不变量，并证明其闭包的同痕不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三重分次扭结同调 [OR18d] 是否具有范畴化的 q → 1/q 对称性，从而范畴化地实现 HOMFLY-PT 多项式已知的对偶性？
• RQ2 能否在 R(L) 上模的导出范畴上定义一个对偶函子 F，使得 F 与傅里叶变换相互作用并保持链不变量？
• RQ3 在固定 q 和 a 的情况下，任意扭结的超多项式是否在变换 t → t⁻¹ 下为回文式？
• RQ4 在特殊化 y=0 时，扩展的同调 HXY(L) 是否恢复原始的三重分次同调 HpL)，且 HXY(L) 是否对扭结在 R(L) 上自由？
• RQ5 能否通过矩阵因子化上的迹函子构造双色辫子闭包的链不变量，并证明其同痕不变性？

主要发现

• 任意扭结 K 的超多项式满足 PK(a,q,t) = PK(a,t⁻¹,t)，证明了 [DGR06] 中提出的回文对称性猜想。
• 与链闭包相关的导出范畴对象 EpL) 在傅里叶函子 F 下不变，即 F(EpL)) ≅ EpL)。
• 对于扭结，模 HXY(K) 在 R(K) = C[x,y) 上自由且有限，且在 y=0 特殊化时退化为原始的三重分次同调 HpK)。
• 可闭合双色辫子 β 的矩阵因子化不变量的迹给出一个同痕不变量 T r(β) ∈ Dper(Cℓ)，其同构于 EpL(β)) 的导出整体截面。
• 当 β 为纯辫子时，不变量 T r(β) 在猜想中与旗 Hilbert 算法通过其 dg 层范畴的 A∞-形变相关联。
• 本文猜想存在一个滤化 D-模复形 ˜EpL(β))，其伴随的分次复形可恢复 EpL(β))，暗示了链不变量的量子化。