[论文解读] Duals and adjoints in higher Morita categories

Owen Gwilliam, Claudia Scheimbauer|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文证明了在对称单幕 $(\infty,N)$-范畴 $\mathcal{S}$ 中的 $E_n$-代数对象的高阶莫里塔范畴 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 是完全 $n$-对偶化的，从而验证了拉里（Lurie）的猜想。通过使用配分代数作为几何框架，本文证明了每个对象均可通过其对偶代数构造获得对偶，并且在有限生成与投影性条件下，$k$-态射具有伴随，其结果对完全展开的拓扑量子场论具有应用。

ABSTRACT

We study duals for objects and adjoints for $k$-morphisms in $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$, an $(\infty,n+N)$-category that models a higher Morita category for $E_n$ algebra objects in a symmetric monoidal $(\infty,N)$-category $\mathcal{S}$. Our model of $\operatorname{Alg}(\mathcal{S})$ uses the geometrically convenient framework of factorization algebras. The main result is that $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ is fully $n$-dualizable, verifying a conjecture of Lurie. Moreover, we unpack the consequences for a natural class of fully extended topological field theories and explore $(n+1)$-dualizability.

研究动机与目标

• 建立在对称单幕 $(\infty,N)$-范畴 $\mathcal{S}$ 中的 $E_n$-代数的高阶莫里塔范畴 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 的完全 $n$-对偶化，从而验证拉里（Lurie）的猜想。
• 刻画 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 中哪些 $k$-态射具有左伴随和右伴随，将经典莫里塔对偶性推广至高阶范畴。
• 探讨 $n$-对偶化对完全展开的拓扑量子场论的影响。
• 阐明导致 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 中无法实现 $(n+1)$-对偶化的细微原因，特别是结构中点化（pointings）的影响。

提出的方法

• 作者使用配分代数对 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 进行建模，为高阶莫里塔范畴提供了几何化且可计算的框架。
• 他们证明了 $\mathcal{S}$ 中任意 $E_n$-代数 $A$ 均可通过其对偶代数 $A^{\mathrm{op}}$ 获得对偶，评估与协评估映射通过双模结构构造。
• 对于 $k$-态射，伴随的存在性取决于其在源代数与目标代数上的有限生成性与投影性，从而推广了经典莫里塔理论。
• 证明 $n$-对偶化依赖于验证所有（协）评估映射及其伴随的存在性，利用等价性的 2-选 3 性质以及能检测等价性的遗忘函子。
• 通过 $\otimes$-筛化余完备性与 $n+N$-重单纯空间上的塞加（Segal）条件，构建了 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 上的对称单幕结构。
• 通过分析 $n$-范畴中点化的作用，研究了 $(n+1)$-对偶化的障碍，表明点化阻止了在第 $n$ 层以上的完全对偶化。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶莫里塔范畴 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 是否如拉里所猜想的那样具有完全 $n$-对偶化？
• RQ2 在 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 中，哪些 $k$-态射具有左伴随与右伴随，其对应的双模具有何种代数条件？
• RQ3 点化在阻碍 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 中实现 $(n+1)$-对偶化方面起到什么作用？
• RQ4 配分代数对 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 的建模如何促进高阶范畴中对偶与伴随的构造？
• RQ5 对偶化性 $n$-对偶化对完全展开的拓扑量子场论有何影响？

主要发现

• 范畴 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 是完全 $n$-对偶化的，证实了拉里猜想：每个 $E_n$-代数均通过其对偶代数获得对偶。
• 对于 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 中任意 $k$-态射 $M$，其右伴随存在的充要条件是 $M$ 作为源代数上的模是有限生成且投影的。
• 通过 2-选 3 性质与能检测等价性的遗忘函子，证明了对偶对 $(A, A^{\mathrm{op}})$ 中的评估与协评估映射是可逆的。
• 通过将单位与余单位映射约化为底层范畴中的等价性，并利用带点结构，证明了伴随的单位与余单位映射是等价的。
• 通过 $n+N$-重塞加空间与纤维积保持性，构建了 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 上的对称单幕结构，确保与高阶范畴框架的兼容性。
• 点化结构阻碍了 $(n+1)$-对偶化，因为其阻止了第 $n$ 层以上的更高阶伴随的存在，揭示了该 $n$-范畴中的根本障碍。