[论文解读] Duals and thinnings of some relatives of the contact process

Jan M. Swart|ArXiv.org|Apr 14, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文通过扩展Lloyd-Sudbury对偶理论，建立了接触-选民过程（结合接触过程与选民模型动力学的相互作用粒子系统）的对偶关系与稀释关系。研究证明这些模型是自对偶的，并与具有湮灭、分支、共alescence和死亡的随机游走系统对偶，且通过离散模型的局部平均场极限，推导出相互作用SDE的类似对偶、稀释与泊松化关系。

ABSTRACT

This paper considers contact processes with additional voter model dynamics. For such models, results of Lloyd and Sudbury can be applied to find a self-duality, as well as dualities and thinning relations with systems of random walks with annihilation, branching, coalescence, and deaths. We show that similar relations, which are known from the literature for certain interacting SDE's, can be derived as local mean field limits of the relations of Lloyd and Sudbury.

研究动机与目标

• 将Lloyd-Sudbury对偶理论扩展至结合接触与选民动力学的接触-选民过程。
• 建立接触-选民过程与具有湮灭、分支、共alescence和死亡的随机游走系统之间的自对偶性与对偶关系。
• 通过离散接触-选民模型的局部平均场极限，推导出相互作用SDE的对偶、稀释与泊松化关系。
• 证明如步进石模型与超随机游走等知名系统中的对偶关系，可作为离散Lloyd-Sudbury关系的极限形式出现。

提出的方法

• 使用形式为 $\psi_{\eta}(x,y) = \prod_{i \in \Lambda} \eta^{x(i)y(i)}$ 的对偶函数，其中 $\eta \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$，建立马尔可夫过程之间的对偶关系。
• 将Lloyd-Sudbury理论应用于具有生成元 (2.2) 的接触-选民模型，其中参数 $a,b,c,d,e$ 分别代表湮灭、分支、共alescence、死亡与排斥。
• 通过证明若两个模型对同一系统具有不同 $\eta$ 的对偶关系，则其中一个为另一个的稀释，从而推导出稀释关系。
• 通过缩放空间与时间，构建接触-选民过程的局部平均场极限，得到具有漂移、扩散与跳跃项的相互作用SDE。
• 利用鞅问题收敛性来证明重标度过程弱收敛于极限SDE。
• 应用泊松化技术，建立极限下离散与连续时间过程之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lloyd-Sudbury对偶性与稀释关系能否被扩展至结合接触与选民动力学的接触-选民过程？
• RQ2 接触-选民过程是否自对偶？若是，它们与哪类随机游走系统对偶？
• RQ3 在种群动力学中，相互作用SDE的对偶与稀释关系是否可作为离散接触-选民模型的局部平均场极限出现？
• RQ4 对偶函数与参数在从离散到连续系统的平均场缩放下如何变换？
• RQ5 重标度接触-选民过程的极限生成元是什么？它与已知SDE（如步进石模型或超随机游走）有何关系？

主要发现

• 参数为 $a,b,c,d,e$ 的接触-选民过程是自对偶的，并通过形式为 $\psi_{\eta}(x,y) = \prod_{i \in \Lambda} \eta^{x(i)y(i)}$ 的对偶函数，与具有湮灭、分支、共alescence和死亡的随机游走系统对偶。
• 随机游走系统彼此之间以及与接触-选民模型之间均为稀释关系，这由Lloyd-Sudbury框架中对偶参数的依赖性所确立。
• 带有选择与突变的步进石模型作为接触-选民模型的局部平均场极限出现，其极限SDE的生成元为 (B.4)，包含漂移、扩散与二次杀灭项。
• 带有二次杀灭项的超随机游走作为接触-选民模型的局部平均场极限出现，其极限生成元 (B.12) 包含迁移、漂移、扩散与二次漂移项。
• 通过鞅问题收敛性与矩计算，证明了重标度过程 $\overline{X}^{(N)}$ 与 $\overline{Y}^{(N)}$ 弱收敛于极限SDE。
• 极限SDE继承了离散模型的对偶性与稀释性质，证实这些关系在平均场缩放下保持不变。