[论文解读] Duistermaat-Heckman measures in a non-compact setting

Elisa Prato, Siye Wu|ArXiv.org|Jul 21, 1993

Advanced Algebra and Geometry被引用 43

一句话总结

本文在非紧辛几何设定下建立了杜斯特马特-赫克曼型公式，其中 moment map 的某一成分是 proper 且从下方有界。推导了在阿贝尔与非阿贝尔群作用下，Liouville 测度的推出（pushforward）的显式公式，从而得到了全纯离散系列表示的重数公式的经典类比。

ABSTRACT

We prove a ðtype formula in a suitable non-compact setting. We use this formula to evaluate explicitly the pushforward of the Liouville measure via the moment map of both an abelian and a non-abelian group action. As an application we obtain the classical analogues of well-known multiplicity formulas for the holomorphic discrete series representations.

研究动机与目标

• 将杜斯特马特-赫克曼公式扩展到 moment map 的某一成分是 proper 且从下方有界的非紧辛流形上。
• 在该非紧设定下，计算哈密顿环面群与李群作用下 Liouville 测度的推出。
• 在阿贝尔与非阿贝尔情形下，为杜斯特马特-赫克曼测度提供显式公式。
• 通过辛几何，恢复全洁离散系列表示的重数公式的经典类比。
• 分析对应于全洁离散系列的非紧半单李群的正则椭圆轨道，证明其满足所需的几何条件。

提出的方法

• 假设存在一个 moment map 成分 Φξ₀，其为 proper 且从下方有界，从而确保对 Im(ζ) 属于特定开锥的情形，积分 ∫_M e^{i⟨Φ,ζ⟩}β 收敛。
• 应用精确驻相法，推导出在该非紧情形下有效的杜斯特马特-赫克曼型公式。
• 利用温和分布与傅里叶-拉普拉斯变换的性质，处理非紧支集的情形。
• 将该公式应用于显式计算环面作用下的推出测度 Φ_*|β|（定理 3.2）。
• 通过紧李群 K 的 moment map 与 Cartan 子群 T，将结果推广至非阿贝尔群作用（定理 3.7）。
• 分析对应于全洁离散系列的非紧半单李群 G 的轨道，验证其满足几何假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 杜斯特马特-赫克曼公式能否被扩展到 moment map 的某一成分是 proper 且从下方有界的非紧辛流形上？
• RQ2 在该非紧设定下，哈密顿环面作用下 Liouville 测度的推出的显式形式是什么？
• RQ3 如何计算紧李群在非紧流形上作用时的非阿贝尔杜斯特马特-赫克曼测度？
• RQ4 对应于全洁离散系列的非紧半单李群 G 的正则椭圆轨道是否满足扩展公式所需的几何条件？
• RQ5 能否通过该框架，将全洁离散系列表示的经典重数公式作为辛不变量恢复？

主要发现

• 本文在非紧设定下建立了杜斯特马特-赫克曼型公式，适用于余代数对偶中的特殊开锥内的 Im(ζ)。
• 在阿贝尔群作用下，Liouville 测度在 moment map 下的推出被显式计算（定理 3.2），其在余代数对偶上具有分段多项式密度。
• 对于非阿贝尔群作用，推出测度 J_*|β| 被显式计算（定理 3.7），将先前结果推广至非紧情形。
• 对应于全洁离散系列表示的非紧半单李群 G 的正则椭圆轨道满足所需的 properness 与有界性条件。
• 在这些轨道上，对紧 Cartan 子群 T 与 G 的最大紧子群 K 的杜斯特马特-赫克曼测度被显式计算。
• 结果将全洁离散系列表示的经典重数公式作为辛不变量恢复，为表示论恒等式提供了几何解释。