[论文解读] Duplicial algebras and Lagrange inversion

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文为停车函数的霍普夫代数建立了范畴结构，将卡塔兰子代数识别为一个生成元上的自由重复代数，并为施罗德子代数引入了三重重复范畴。通过重复代数结构解释非交换拉格朗日反演公式，表明通用解即为所有停车函数的和，该和通过代数上的特征标生成组合多项式，如超-纳拉亚纳多项式。

ABSTRACT

We provide operadic interpretations for two Hopf subalgebras of the algebra of parking functions. The Catalan subalgebra is identified with the free duplicial algebra on one generator, and the Schröder subalgebra is interpreted by means of a new operad, which we call triduplicial. The noncommutative Lagrange inversion formula is then interpreted in terms of duplicial structures. The generic solution of the noncommutative inversion problem appears as the formal sum of all parking functions. This suggests that combinatorial generating functions derived by functional inversion should be obtainable by evaluating a suitable character on this generic solution. This idea is illustrated by means of the Narayana polynomials, of which we obtain bivariate "super-analogues" by lifting to parking functions a classical character of the algebra of symmetric functions. Other characters, such as evaluation of symmetric functions on a binomial element, are also discussed.

研究动机与目标

• 为停车函数代数的两个霍普夫子代数（卡塔兰与施罗德子代数）提供范畴解释。
• 通过重复代数结构解释非交换拉格朗日反演公式。
• 证明所有停车函数的正式和作为非交换反演问题的通用解。
• 通过停车函数上的特征标，将拉萨勒的纳拉亚纳多项式推广为双变量超类形式。
• 将对称函数特征标（如二项式元素上的取值）上移到停车函数代数，并提供组合解释。

提出的方法

• 使用重复范畴，将停车函数的卡塔兰子代数识别为一个生成元上的自由重复代数。
• 引入三重重复范畴，以将施罗德子代数解释为一个生成元上的自由代数。
• 利用所有停车函数之和满足的二次函数方程，将其与二叉树联系起来，并通过一个对合建立对称性。
• 通过停车函数代数上的特征标生成组合生成函数，包括超-纳拉亚纳多项式。
• 通过由打包取值定义的同态，将对称函数特征标（例如二项式元素上的取值）上移到停车函数代数。
• 推导出所有长度为 $ n $ 的停车函数之和在各种特征标下的像的显式公式，得到具有组合解释的多项式序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将停车函数的霍普夫代数分解为范畴子结构，哪些范畴控制其子代数？
• RQ2 所有停车函数的和以何种方式编码了非交换拉格朗日反演问题的解？
• RQ3 能否通过停车函数特征标将经典组合多项式（如纳拉亚纳多项式）推广为双变量超类形式？
• RQ4 从二项式特征标上移到停车函数后产生的多项式 $ P_n(\alpha) = \alpha \prod_{k=1}^{n-1} ((n+1)\alpha + k) $ 的系数具有何种组合意义？
• RQ5 在对称群的布吕特阶序背景下，倒数多项式 $ Q_n(q) = (q-1)^{n-1} P_n(1/(q-1)) $ 的系数是否具有组合解释？

主要发现

• 非递减停车函数代数（卡塔兰子代数）同构于一个生成元上的自由重复代数，重复范畴提供了其基本范畴结构。
• 施罗德子代数被实现为一个新范畴——三重重复范畴——上的自由代数，该范畴推广了重复结构。
• 所有停车函数的和 $ G = \sum_{{\bf a} \in {\rm PF}} {\bf F}_{\bf a} $ 满足一个二次函数方程，并对应于非交换拉格朗日反演问题的通用解。
• 超-纳拉亚纳多项式 $ P_n(t,q) $（推广了拉萨勒的公式）通过上移 $ {\bf SQSym} $ 上的特征标得到，满足 $ P_n(t,0) = (1+t)c_n(1+t) $，并按与施罗德路径中水平步数相关的统计量计数带符号停车函数。
• 长度为 $ n $ 的所有停车函数之和在二项式特征标下的像为 $ g_n(\alpha) = \frac{1}{n+1} \binom{(n+1)\alpha + n - 1}{n} $，其系数计数满足 $ {\bf a}\sigma = {\bf a} $ 的对 $ ({\bf a}, \sigma) $，其中 $ {\bf a} \in {\rm PF}_n $，$ \sigma \in \mathfrak{S}_n $。
• 倒数多项式 $ Q_n(q) = (q-1)^{n-1} P_n(1/(q-1)) $ 给出 $ (n+1)^{n-1} $ 的 $ q $-类比，其系数与已知序列匹配，包括对称群 $ \mathfrak{S}_n $ 的布吕特阶序的哈塞图中的边数。