[论文解读] Dwell-time conditions for robust stability of impulsive systems

Sergey Dashkovskiy, Andrii Mironchenko|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过李雅普诺夫函数建立了脉冲系统输入到状态稳定（ISS）的驻留时间条件。证明了存在一般ISS李雅普诺夫函数时，系统在非线性固定驻留时间条件下满足ISS；对于指数ISS李雅普诺夫函数，系统在广义平均驻留时间（gADT）条件下满足一致ISS，从而将先前结果扩展至非指数情形，并使方法可更广泛地应用于互联系统。

ABSTRACT

We prove that impulsive systems, which possess an ISS Lyapunov function, are ISS for impulse time sequences, which satisfy the fixed dwell-time condition. If the ISS Lyapunov function is the exponential one, we provide stronger result, which guarantees uniform ISS of the whole system over sequences of impulse times, which satisfy the generalized average dwell-time condition.

研究动机与目标

• 将现有脉冲系统输入到状态稳定（ISS）的驻留时间条件，从指数李雅普诺夫函数扩展至非指数情形。
• 为具有通用ISS李雅普诺夫函数的系统，建立在非线性固定驻留时间（FDT）条件下的ISS充分条件。
• 将平均驻留时间（ADT）条件推广为适用于指数ISS李雅普诺夫函数的广义平均驻留时间（gADT）条件。
• 为可应用于小增益定理产生非指数ISS李雅普诺夫函数的脉冲系统互联结构，提供一个适用框架。
• 通过反例分析证明所提驻留时间条件的紧致性。

提出的方法

• 使用满足连续流动期间 $ \dot{V} \leq -cV $ 且在脉冲时刻满足 $ V(x(t)) \leq e^{-d}V(x^-(t)) $ 的李雅普诺夫函数 $ V $。
• 通过函数 $ h \in \mathcal{L} $ 引入非线性固定驻留时间条件，使得 $ N(t,s) \leq h(t-s) $，其中 $ N(t,s) $ 表示区间 $[s,t)$ 内的脉冲次数。
• 利用流动期间的指数衰减与脉冲时刻的跳跃减小，推导出 $ V(x(t)) $ 的上界，得到 $ V(x(t)) \leq h(t-s)V(x(s)) $。
• 应用比较引理技术，利用 $ \mathcal{KL} $-函数界定向态轨迹，确保ISS并具有统一有界性。
• 通过引入允许时变衰减率的广义平均驻留时间（gADT）条件，推广平均驻留时间条件。
• 利用指数ISS李雅普诺夫函数的存在性，证明在gADT条件下系统满足一致ISS，且稳定性估计与初始时间无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 当ISS李雅普诺夫函数不一定是指数形式时，能否保证脉冲系统的ISS？
• RQ2 对于具有通用ISS李雅普诺夫函数的系统，确保ISS的最弱驻留时间条件是什么？
• RQ3 如何将平均驻留时间条件推广以适应非指数李雅普诺夫函数，同时保持一致ISS？
• RQ4 所提出的非线性固定驻留时间条件是否紧致？即，若违反该条件，则是否存在某些系统导致不稳定？
• RQ5 所提结果能否推广至小增益定理产生非指数ISS李雅普诺夫函数的脉冲系统互联结构？

主要发现

• ISS李雅普诺夫函数的存在性可保证系统在满足非线性固定驻留时间条件（即 $ N(t,s) \leq h(t-s) $，$ h \in \mathcal{L} $）的脉冲时间序列下满足ISS。
• 对于具有指数ISS李雅普诺夫函数的系统，一致ISS在广义平均驻留时间（gADT）条件下成立，扩展了基于常数 $ h \equiv e^{\mu} $ 的先前结果。
• 非线性固定驻留时间条件是紧致的：若某脉冲序列对所有此类 $ h $ 均违反该条件，则存在一个系统在该序列下不满足ISS。
• 状态轨迹的界与初始时间无关，确保一致ISS，且 $ \beta $ 与 $ \gamma $ 函数与脉冲序列无关。
• 证明表明，当 $ t $ 足够大时，有 $ V(x(t)) \leq C_\lambda \max\{1,e^{-d}\} \chi(\|u\|_\infty) $，其中 $ C_\lambda = \sup_{x \geq 0} h(x) < \infty $，确保输入下有界性。
• 本结果通过允许非恒定 $ h $，推广了文献[7]中的定理1，从而覆盖了原始平均驻留时间条件无法涵盖的更广泛脉冲序列类。