[论文解读] Dwyer-Kan Homotopy Theory of Algebras over Operadic Collections

Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在便利的对称单幕模型范畴中，为增强型操作子族代数建立了Dwyer-Kan模型范畴结构，统一并推广了现有关于丰富化操作子、双极代数、双极代数及其轮状变体的结果。主要贡献是一个通用框架，确保了可由生成元生成的、可处理的模型结构，其中平凡纤维丛是逐项平凡纤维丛且在颜色上是满射的，而纤维对象则是逐项纤维的。

ABSTRACT

Over suitable monoidal model categories, we construct a Dwyer-Kan model category structure on the category of algebras over an augmented operadic collection. As examples we obtain Dwyer-Kan model category structure on the categories of enriched wheeled props, wheeled properads, and wheeled operads, among others. This result extends known model category structure on the categories of operads, properads, and props enriched in simplicial sets and other monoidal model categories. We also show that our Dwyer-Kan model category structure is well behaved with respect to simultaneous changes of the underlying monoidal model category and the augmented operadic collection.

研究动机与目标

• 将Dwyer-Kan模型范畴结构推广到一大类操作子类代数结构，包括轮状变体。
• 在单一框架下统一现有关于丰富化操作子、双极代数和双极代数的模型范畴结果。
• 在便利的单幕模型范畴中，为增强型操作子族代数建立可由生成元生成的模型结构。
• 证明当基础单幕模型范畴和操作子族同时改变时，该模型结构仍保持良好性质。
• 为标准操作子之外的丰富代数范畴提供系统化方法，以构建Dwyer-Kan结构。

提出的方法

• 引入操作子族（S, O）的概念，用于参数化输入-输出结构，并函子性地分配操作子。
• 将增强型操作子族定义为通过自然增强与带额外条目的丰富范畴相关联的结构。
• 应用Quillen的小对象构造法与提升技巧，在此类族代数上构造可由生成元生成的模型结构。
• 利用代数范畴与带额外条目的丰富范畴之间的伴随关系，转移模型结构。
• 证明平凡纤维丛正是那些逐项平凡纤维丛且在颜色上是满射的纤维丛。
• 证明纤维对象恰好是其在基范畴中逐项纤维的那些对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一大类操作子类结构（包括轮状变体）的代数构造统一的Dwyer-Kan模型范畴结构？
• RQ2 如何使增强型操作子族代数上的模型结构可由生成元生成且可处理？
• RQ3 在何种条件下，代数上的模型结构在基础单幕模型范畴改变时仍能保持不变？
• RQ4 代数范畴中的纤维对象与平凡纤维丛如何与基范畴中的纤维对象和平凡纤维丛相关联？
• RQ5 该框架能否恢复已知的操作子、双极代数和双极代数的模型结构，同时将其扩展至轮状版本？

主要发现

• 每个便利的单幕模型范畴中的增强型操作子族，其代数范畴均具有Dwyer-Kan模型范畴结构。
• 该模型结构可由生成元生成，平凡纤维丛被刻画为在颜色上满射的逐项平凡纤维丛。
• 代数范畴中的纤维对象恰好是其在基范畴中逐项纤维的对象。
• 该框架恢复了在单纯集及其他单幕模型范畴中已知的丰富化操作子、双极代数和双极代数的Dwyer-Kan模型结构。
• 该结果为丰富化轮状操作子、轮状双极代数和轮状双极代数提供了新的Dwyer-Kan模型范畴结构。
• 该构造在同时改变基础单幕模型范畴和操作子族时保持稳定，确保了其鲁棒性与普遍性。