[论文解读] Dynamic algorithms for visibility polygons.

R. Inkulu, K. Sowmya|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

DNA and Biological Computing被引用 1

一句话总结

本文提出了一种动态算法，用于在简单多边形的顶点插入和删除操作下，维护和查询可见性多边形及弱可见性多边形。通过利用组合变化并预处理初始多边形，该方法实现了输出敏感的更新与查询，确保了可见性结构的高效动态维护。

ABSTRACT

We devise the following dynamic algorithms for both maintaining as well as querying for the visibility and weak visibility polygons amid vertex insertions and/or deletions to the simple polygon. * A fully-dynamic algorithm for maintaining the visibility polygon of a fixed point located interior to the simple polygon amid vertex insertions and deletions to the simple polygon. The time complexity to update the visibility polygon of a point $q$ due to the insertion (resp. deletion) of vertex $v$ to (resp. from) the current simple polygon is expressed in terms of the number of combinatorial changes needed to the visibility polygon of $q$ due to the insertion (resp. deletion) of $v$. * An output-sensitive query algorithm to answer the visibility polygon query corresponding to any point $p$ in $\mathbb{R}^2$ amid vertex insertions and deletions to the simple polygon. If $p$ is not exterior to the current simple polygon then the visibility polygon of $p$ is computed. Otherwise, our algorithm outputs the visibility polygon corresponding to the exterior visibility of $p$. * An output-sensitive algorithm to compute the weak visibility polygon corresponding to any query line segment located interior to the simple polygon amid both the vertex insertions and deletions to the simple polygon. Each of these algorithms require preprocessing the initial simple polygon. And, the algorithms that maintain the visibility polygon (resp. weak visibility polygon) compute the visibility polygon (resp. weak visibility polygon) with respect to the initial simple polygon during the preprocessing phase.

研究动机与目标

• 为解决在简单多边形的顶点动态插入或删除过程中，高效维护固定内点可见性多边形的挑战。
• 设计一种查询算法，能够在多边形顶点发生动态变化时，计算平面上任意点（无论位于多边形内部或外部）的可见性多边形。
• 将动态框架扩展至在顶点插入和删除过程中，动态计算多边形内部查询线段的弱可见性多边形。
• 确保所有动态操作均为输出敏感型，仅依赖于可见性结构的组合变化数量。
• 提供一个预处理步骤，预先计算初始多边形的可见性结构，以支持高效更新与查询。

提出的方法

• 该算法通过追踪顶点插入与删除所引起的组合变化，仅在必要时更新固定内点的可见性多边形。
• 对于可见性查询，该算法首先判断查询点是否位于当前多边形内部或外部，并利用动态更新机制计算相应的可见性多边形。
• 针对查询线段的弱可见性多边形计算，采用可适应顶点变化的动态数据结构，实现在输出敏感时间内的可见性计算。
• 预处理包括计算固定点的可见性多边形以及初始多边形的弱可见性多边形，随后在顶点操作过程中逐步更新。
• 该算法利用简单多边形的几何特性，结合高效的数据结构，以追踪可见性边界并检测由顶点修改引发的变化。
• 时间复杂度以可见性多边形的组合变化次数表示，从而保证输出敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在简单多边形中，如何高效地在顶点插入或删除操作下更新固定内点的可见性多边形？
• RQ2 当多边形经历动态顶点变化时，计算平面上任意点可见性多边形的最小计算成本是多少？
• RQ3 在顶点更新下，能否以输出敏感的时间复杂度动态计算多边形内部线段的弱可见性多边形？
• RQ4 哪些预处理技术能够实现简单多边形中可见性结构的高效动态维护？
• RQ5 动态可见性算法在多大程度上可通过仅依赖组合变化来实现输出敏感性？

主要发现

• 动态可见性多边形维护算法的更新时间与因顶点插入或删除导致的可见性多边形组合变化数量成正比。
• 可见性多边形查询算法能够以输出敏感的时间复杂度，正确计算ℝ²中任意点（无论位于当前多边形内部或外部）的可见性多边形。
• 查询线段的弱可见性多边形计算同样具有输出敏感性，其时间复杂度取决于可见性结构的组合变化数量。
• 所有动态算法均需对初始简单多边形进行预处理，以预先计算可见性结构，随后在顶点操作过程中逐步更新。
• 该算法在顶点插入与删除操作下均保持正确性与高效性，支持多边形的完全动态操作。
• 该框架实现了可见性结构的高效动态计算，避免了每次更新后从头重新计算。