[论文解读] Dynamic Balanced Graph Partitioning

Chen Avin, Marcin Bieńkowski+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文引入了在线动态均衡图划分问题，其中节点被划分为大小相等的簇，以在通信模式随时间变化的情况下最小化簇间通信和迁移成本。针对具有常数簇大小增强的通用情况，提出了一个 $O(k\log k)$-竞争的确定性算法，并证明了即使在增强条件下，确定性算法的竞争力比下限仍为 $k$。

ABSTRACT

This paper initiates the study of the classic balanced graph partitioning problem from an online perspective: Given an arbitrary sequence of pairwise communication requests between $n$ nodes, with patterns that may change over time, the objective is to service these requests efficiently by partitioning the nodes into $\ell$ clusters, each of size $k$, such that frequently communicating nodes are located in the same cluster. The partitioning can be updated dynamically by migrating nodes between clusters. The goal is to devise online algorithms which jointly minimize the amount of inter-cluster communication and migration cost. The problem features interesting connections to other well-known online problems. For example, scenarios with $\ell=2$ generalize online paging, and scenarios with $k=2$ constitute a novel online variant of maximum matching. We present several lower bounds and algorithms for settings both with and without cluster-size augmentation. In particular, we prove that any deterministic online algorithm has a competitive ratio of at least $k$, even with significant augmentation. Our main algorithmic contributions are an $O(k \log{k})$-competitive deterministic algorithm for the general setting with constant augmentation, and a constant competitive algorithm for the maximum matching variant.

研究动机与目标

• 为应对分布式系统中随时间变化的通信模式下动态重新划分节点的挑战。
• 在无未来请求先验知识的在线环境下，联合最小化簇间通信和节点迁移成本。
• 建立在线算法在均衡图划分问题上的性能理论界限，尤其在簇大小约束下。
• 探索与经典在线问题（如在线页替换和在线匹配）的联系。
• 为虚拟化环境（如云计算）中的动态聚类设计竞争性在线算法。

提出的方法

• 将问题建模为在线均衡重划分（BRP）任务，其中节点在固定大小 $k$ 的簇之间动态迁移，以最小化通信和迁移成本。
• 使用竞争分析将在线算法与具有完整请求序列知识的最优离线算法进行比较。
• 通过多个离线算法的平均论证推导出竞争力比的下界。
• 设计一个确定性算法，通过簇大小增强实现 $O(k\\log k)$-竞争力。
• 采用将节点划分为 $k$ 个循环切分 $\textsc{cut}(j)$ 的技术，以探索替代聚类方式并控制性能。
• 通过迫使在线算法陷入次优配置的对抗性请求序列证明下界，揭示确定性方法的固有限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无簇大小增强的情况下，动态均衡图划分的确定性在线算法可达到的最佳竞争力比是多少？
• RQ2 当 $k=2$ 时（对应最大匹配的在线变体），能否实现常数竞争力的算法？
• RQ3 簇大小增强如何影响竞争力比？是否能带来更好的算法保证？
• RQ4 是否可能设计出竞争力比与簇数 $\ell$ 无关的在线算法？
• RQ5 当通信模式随时间演变时，在线动态划分的根本限制是什么？

主要发现

• 任何无簇大小增强的动态均衡图划分确定性在线算法的竞争力比至少为 $k$，即使在显著的簇大小增强下也是如此。
• 当允许常数级别的簇大小增强时，本文提出了一种 $O(k\log k)$-竞争力的确定性算法，适用于通用情况。
• 对于 $k=2$ 的特殊情况，本文证明了确定性在线算法的竞争力比下限为 3。
• 本文证明，在常数增强下，$O(k\log k)$ 的竞争力比是紧致的（至多相差常数因子）。
• 即使在 $O(1)$-增强下，$k$-依赖性也是不可避免的，表明该问题中 $k$-依赖性是固有的。
• 结果表明，通过常数增强，离线最优解可被近似为 $O(k\log k)$ 因子内，这显著优于平凡的 $O(k^2 \ell^2)$ 边界。