[论文解读] Dynamic Delaunay tetrahedralizations and Voronoi tessellations in three dimensions

Gernot Schaller, Michael Meyer‐Hermann|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2003

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 21被引用 2

一句话总结

本文提出了一种动态、基于运动的算法，用于使用三单形数据结构维护三维Delaunay四面体剖分及其对偶Voronoi镶嵌。该算法引入了新颖的顶点删除与点定位技术，能够在顶点位置随时间变化及顶点数量动态改变的情况下，稳健地构建与维护Delaunay三角剖分，适用于基于网格的PDE求解器和生物模拟。

ABSTRACT

We describe the implementation of algorithms to construct and maintain three-dimensional dynamic Delaunay triangulations with kinetic vertices using a three-simplex data structure. The code is capable of constructing the geometric dual, the Voronoi or Dirichlet tessellation. Initially, a given list of points is triangulated. Time evolution of the triangulation is not only governed by kinetic vertices but also by a changing number of vertices. We use three-dimensional simplex flip algorithms, a stochastic visibility walk algorithm for point location and in addition, we propose a new simple method of deleting vertices from an existing three-dimensional Delaunay triangulation while maintaining the Delaunay property. The dual Dirichlet tessellation can be used to solve differential equations on an irregular grid, to define partitions in cell tissue simulations, for collision detection etc.

研究动机与目标

• 开发一种在顶点位置随时间变化的情况下，稳健维护动态三维Delaunay三角剖分的算法。
• 支持顶点数量的动态变化，包括在保持Delaunay性质的同时高效删除顶点。
• 为科学计算与模拟应用，构建几何对偶——即Voronoi或Dirichlet镶嵌。
• 实现不规则网格求解器、细胞组织建模与碰撞检测等实际应用。
• 在三单形数据结构中集成高效的点定位与单形翻转操作。

提出的方法

• 该算法使用三单形数据结构来表示并维护三维Delaunay三角剖分。
• 通过三维单形翻转操作，在顶点移动或插入后恢复Delaunay条件。
• 采用随机可见性遍历算法，实现在动态三角剖分中的高效点定位。
• 提出一种新的顶点删除方法，确保删除后仍保持Delaunay性质。
• 将几何对偶——即Voronoi镶嵌——作为Delaunay三角剖分的对偶进行计算。
• 系统支持顶点的时间演化以及计算过程中顶点数量的动态变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在顶点运动的情况下高效维护三维Delaunay三角剖分？
• RQ2 在保持Delaunay性质的前提下，如何有效从3D Delaunay三角剖分中删除顶点？
• RQ3 如何在动态3D Delaunay三角剖分中高效执行点定位？
• RQ4 哪种数据结构最有效地用于表示与更新动态3D Delaunay四面体剖分？
• RQ5 如何逐步构建并维护作为动态Delaunay三角剖分对偶的Voronoi镶嵌？

主要发现

• 所提出的顶点删除方法在无需完全重剖分的情况下，成功在三维三角剖分中保持了Delaunay性质。
• 随机可见性遍历算法实现了在动态3D Delaunay三角剖分中的高效点定位。
• 三单形数据结构支持在顶点运动下对三角剖分进行稳健且高效的更新。
• 该算法支持在时间演化模拟过程中动态改变顶点数量，包括插入与删除操作。
• 几何对偶——即Voronoi镶嵌——可与Delaunay三角剖分同步逐步计算与维护。
• 该框架在不规则网格上求解微分方程以及建模生物细胞组织方面具有实际应用价值。