[论文解读] Dynamic Effective Resistances and Approximate Schur Complement on Separable Graphs

Gramoz Goranci, Monika Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文提出了一种完全动态算法，可在 √n-可分图中以 Õ(√n/ε²) 的最坏情况更新和查询时间维护 (1+ε)-近似全对有效电阻。该算法利用动态近似舒尔补来保持终端之间的成对电阻，实现了可分图下的近乎最优性能，并通过 OMv 猜想建立了紧致的条件性下界。

ABSTRACT

We consider the problem of dynamically maintaining (approximate) all-pairs effective resistances in separable graphs, which are those that admit an $n^{c}$-separator theorem for some $c<1$. We give a fully dynamic algorithm that maintains $(1+\varepsilon)$-approximations of the all-pairs effective resistances of an $n$-vertex graph $G$ undergoing edge insertions and deletions with $ ilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$ worst-case update time and $ ilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon^2)$ worst-case query time, if $G$ is guaranteed to be $\sqrt{n}$-separable (i.e., it is taken from a class satisfying a $\sqrt{n}$-separator theorem) and its separator can be computed in $ ilde{O}(n)$ time. Our algorithm is built upon a dynamic algorithm for maintaining \emph{approximate Schur complement} that approximately preserves pairwise effective resistances among a set of terminals for separable graphs, which might be of independent interest. We complement our result by proving that for any two fixed vertices $s$ and $t$, no incremental or decremental algorithm can maintain the $s-t$ effective resistance for $\sqrt{n}$-separable graphs with worst-case update time $O(n^{1/2-δ})$ and query time $O(n^{1-δ})$ for any $δ>0$, unless the Online Matrix Vector Multiplication (OMv) conjecture is false. We further show that for \emph{general} graphs, no incremental or decremental algorithm can maintain the $s-t$ effective resistance problem with worst-case update time $O(n^{1-δ})$ and query-time $O(n^{2-δ})$ for any $δ>0$, unless the OMv conjecture is false.

研究动机与目标

• 设计一种完全动态算法，用于在满足 √n 分离定理的图中维护 (1+ε)-近似全对有效电阻。
• 开发一种动态数据结构，用于在可分图中维护近似舒尔补，以保持终端集合之间的成对电阻。
• 建立在一般图和 √n-可分图中，对 s–t 有效电阻进行增量或减量维护的紧致条件性下界。
• 弥合静态有效电阻算法与结构化图族（如平面图和无小图子式图）中动态设置之间的差距。

提出的方法

• 该算法使用动态近似舒尔补构造，以在可分图中保持终端集合之间的有效电阻。
• 它维护一棵低拉伸生成树，并使用谱稀疏化技术来控制近似误差。
• 该方法依赖于使用 √n 分离器对图进行递归分解，以实现高效的更新和查询。
• 它对由终端及其邻居诱导的子图中的拉普拉斯矩阵的逆应用诺伊曼级数展开。
• 该数据结构动态调整边权，以保持恒定的加权度，从而确保电阻估计的稳定性。
• 它使用从在线矩阵向量（OMv）问题的归约来证明更新和查询时间的条件性下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在 √n-可分图中以亚线性更新和查询时间动态维护 (1+ε)-近似全对有效电阻？
• RQ2 是否存在一种动态算法，可在可分图中维护近似舒尔补，以保持终端之间的成对电阻？
• RQ3 在增量或减量设置下，维护 s–t 有效电阻的最坏情况更新和查询时间的条件性下界是什么？
• RQ4 OMv 猜想是否可用于建立一般图和可分图中动态有效电阻的紧致难解性结果？

主要发现

• 本文提出了一种完全动态算法，其在 √n-可分图中维护 (1+ε)-近似全对有效电阻的最坏情况更新和查询时间为 Õ(√n/ε²)。
• 该算法基于一个动态近似舒尔补，可保持终端之间的成对电阻，该构造本身可能具有独立兴趣。
• 对于 √n-可分图，除非 OMv 猜想不成立，否则任何增量或减量算法都无法以 O(n^{1/2−δ}) 的更新时间与 O(n^{1−δ}) 的查询时间维护 s–t 有效电阻，其中 δ > 0。
• 对于一般图，除非 OMv 猜想不成立，否则任何增量或减量算法都无法以 O(n^{1−δ}) 的更新时间与 O(n^{2−δ}) 的查询时间维护 s–t 有效电阻，其中 δ > 0。
• 从 uMv 问题到有效电阻的归约表明，在 OMv 猜想下，该算法的性能几乎是最优的。
• 分析表明，拉普拉斯矩阵逆的诺伊曼级数展开的前四项主导了有效电阻估计，从而实现了高精度的近似。