[论文解读] Dynamic Fair Division Problem with General Valuations

Bo Li, Yingkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有普遍异质估值的玩家在不同时刻到达和离开的可分资源的动态公平分配算法。它引入了1-回忆可计算的算法，实现了$O(\log n)$-比例公平和$O(n)$-无嫉妒公平，并通过对手构造证明了这些界在对数因子范围内是紧致的；此外，将结果扩展到具有不同需求的均匀估值情形，展示了$O(\log n)$-公平算法并给出了匹配的下界。

ABSTRACT

In this paper, we focus on how to dynamically allocate a divisible resource fairly among n players who arrive and depart over time. The players may have general heterogeneous valuations over the resource. It is known that the exact envy-free and proportional allocations may not exist in the dynamic setting [Walsh, 2011]. Thus, we will study to what extent we can guarantee the fairness in the dynamic setting. We first design two algorithms which are O(log n)-proportional and O(n)-envy-free for the setting with general valuations, and by constructing the adversary instances such that all dynamic algorithms must be at least Omega(1)-proportional and Omega(n/log n)-envy-free, we show that the bounds are tight up to a logarithmic factor. Moreover, we introduce the setting where the players' valuations are uniform on the resource but with different demands, which generalize the setting of [Friedman et al., 2015]. We prove an O(log n) upper bound and a tight lower bound for this case.

研究动机与目标

• 设计动态分配算法，以最小化玩家在到达和离开时间不固定的动态环境中因普遍异质估值而产生的不满。
• 量化在精确公平不可行的动态环境中，所能实现的最佳公平近似程度（以比例性和无嫉妒性衡量）。
• 通过构造紧致的对手实例，弥合公平近似上界与下界之间的差距。
• 推广先前关于具有需求的均匀估值工作的结果，将结论扩展到更广泛的估值函数类别。

提出的方法

• 设计两种1-回忆可计算的算法，动态分配可分资源，当玩家到达时进行分配，并允许重新分配至多一位先前玩家的份额。
• 通过近似比定义公平性：$\sigma$-比例公平（每位玩家至少获得其总估值的$1/(\sigma n)$）和$\xi$-无嫉妒公平（无玩家对他人嫉妒超过$1/\xi$）。
• 构造对手实例，包含$m = \log n / 3$轮，每轮玩家数量减少为原来的四分之一，需求增加为原来的八倍。
• 使用求和与积分近似方法，对总分配资源进行下界估计，推导出均匀需求情形下的$\Omega(\log n)$-公平性下界。
• 通过证明任何1-回忆可计算算法在构造实例中必须承受至少$\Omega(\log n)$-公平性，从而证明边界的紧致性。
• 通过调整对手构造中使用$1/(4\tau)$和$8\tau$的缩放因子，将结果推广至$\tau$-回忆可计算算法，同时保持$\Omega(\log n)$的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有普遍异质估值的动态公平分配中，比例性和无嫉妒性的最佳可能近似比是多少？
• RQ2 在1-回忆可计算条件下，能否实现$O\left(\log n\right)$-比例公平和$O(n)$-无嫉妒公平算法？这些界是否紧致？
• RQ3 当玩家具有均匀估值但不同需求时，可能实现哪些公平性保证？与普遍估值情形相比如何？
• RQ4 在均匀需求模型中，$\Omega(\log n)$-公平性下界是否对$\tau$-回忆可计算算法（常数$\tau$）也成立？
• RQ5 对于$\tau$-回忆可计算算法（$\tau \geq 2$），在不假设无浪费的前提下，能否改进公平性近似？

主要发现

• 所提出的1-回忆可计算算法在普遍估值下实现了$O(\log n)$-比例公平和$O(n)$-无嫉妒公平，与已知下界在对数因子范围内一致。
• 对手实例证明，任何1-回忆可计算算法都必须至少达到$\Omega(\frac{n}{\log n})$-无嫉妒公平，表明$O(n)$界在对数因子范围内是紧致的。
• 对于具有不同需求的均匀估值情形，本文构造了$O(\log n)$-公平算法，并证明了匹配的$\Omega(\log n)$下界，从而确立了紧致性。
• 通过将对手实例调整为使用$1/(4\tau)$和$8\tau$的缩放因子，该$\Omega(\log n)$-公平性下界对常数$\tau$的$\tau$-回忆可计算算法依然成立。
• 结果表明，在均匀需求模型中，任何算法都无法实现优于$\Omega(\log n)$-公平性，且在普遍估值设定下，公平性近似无法在对数因子之外得到改进。