[论文解读] Dynamic Graph Algorithms and Graph Sparsification: New Techniques and Connections

Gramoz Goranci|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 199被引用 5

一句话总结

本文提出适用于大规模图的新型动态算法与图稀疏化技术，实现了拉普拉斯系统、有效电阻及低拉伸生成树的次线性更新时间。该工作首次提出全局最小割、近似全源最大流与最稀疏割的动态算法，并引入一种新型的局部稀疏化器（Local Sparsifiers），揭示了动态图算法与图稀疏化之间深层的联系。

ABSTRACT

Graphs naturally appear in several real-world contexts including social networks, the web network, and telecommunication networks. While the analysis and the understanding of graph structures have been a central area of study in algorithm design, the rapid increase of data sets over the last decades has posed new challenges for designing efficient algorithms that process large-scale graphs. These challenges arise from two usual assumptions in classical algorithm design, namely that graphs are static and that they fit into a single machine. However, in many application domains, graphs are subject to frequent changes over time, and their massive size makes them infeasible to be stored in the memory of a single machine. Driven by the need to devise new tools for overcoming such challenges, this thesis focuses on two areas of modern algorithm design that directly deal with processing massive graphs, namely dynamic graph algorithms and graph sparsification. We develop new algorithmic techniques from both dynamic and sparsification perspective for a multitude of graph-based optimization problems which lie at the core of Spectral Graph Theory, Graph Partitioning, and Metric Embeddings. Our algorithms are faster than any previous one and design smaller sparsifiers with better (approximation) quality. More importantly, this work introduces novel reduction techniques that show unexpected connections between seemingly different areas such as dynamic graph algorithms and graph sparsification.

研究动机与目标

• 解决超出单机内存容量的海量动态图处理挑战。
• 为谱图理论、图划分与度量嵌入中的核心图问题设计高效的动态算法。
• 设计新型稀疏化技术，以高保真度与小规模保留最短路径、可达性与有效电阻等关键图属性。
• 通过新颖的归约技术，建立动态图算法与图稀疏化之间出人意料的理论联系。
• 为保留最短路径与可达性的顶点稀疏化器，提供关于稀疏化器规模与近似质量之间权衡的紧致上下界。

提出的方法

• 引入局部稀疏化器（Local Sparsifiers），作为顶点稀疏化器的更强变体，可保留局部图结构并支持高效动态维护。
• 设计一种动态算法，用于在加权无向图中以次线性更新与查询时间维护拉普拉斯系统的近似解。
• 将动态技术扩展至在无向加权图中以次线性更新时间维护顶点谱稀疏化器与全源有效电阻。
• 设计一种动态算法，用于在无权无向图中以次多项式拉伸与次线性更新时间维护低拉伸生成树。
• 通过适配 Why-Delta 变换，为 Okamura-Seymour 图构建保持平面性的割与距离稀疏化器。
• 证明条件性下界，表明在标准复杂度假设下，动态图中精确维护有效电阻在次线性时间内不可行。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在动态加权无向图中，以次线性更新与查询时间维护拉普拉斯系统的近似解？
• RQ2 对于保留最短路径与可达性的顶点稀疏化器，其规模与近似质量之间的权衡为何？
• RQ3 我们能否设计出以次线性更新时间维护低拉伸生成树与低直径聚类的动态算法？
• RQ4 动态算法在全局最小割与全源最大流等基础图问题上的极限是什么？
• RQ5 我们如何通过新颖的归约技术与结构洞见，统一动态图算法与图稀疏化？

主要发现

• 本文首次提出在无向加权图中以次线性更新与查询时间维护拉普拉斯系统近似解的动态算法。
• 实现了首次在无向加权图中以次线性更新时间动态维护顶点谱稀疏化器与全源有效电阻。
• 作者证明了条件性下界，表明在标准复杂度假设下，动态图中精确维护有效电阻在次线性时间内不可行。
• 提出一种新型动态算法，用于在无权无向图中以次多项式拉伸与次线性更新时间维护低拉伸生成树。
• 本文为无向无权图中递增维护全局最小割、近似全源最大流与最稀疏割提供了当前最优的已知算法。
• 作者引入局部稀疏化器作为顶点稀疏化器的更强变体，并推导出此类稀疏化器在规模与近似质量之间权衡的紧致上下界。