[论文解读] Dynamic Maintenance of Monotone Dynamic Programs and Applications

Monika Henzinger, Stefan Neumann+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于动态规划（DP）的新数据结构，通过利用DP表行的单调性，实现了静态DP的近乎线性时间与空间复杂度，以及动态设置下的亚多项式更新时间。通过将行表示为单调分段常数函数，该方法支持高效的(min, +)-卷积与舍入操作，从而实现了k-平衡图划分与同时源点定位问题的首个具有亚多项式更新时间的动态算法，并且获得了迄今为止最快的完全动态背包算法。

ABSTRACT

Dynamic programming (DP) is one of the fundamental paradigms in algorithm design. However, many DP algorithms have to fill in large DP tables, represented by two-dimensional arrays, which causes at least quadratic running times and space usages. This has led to the development of improved algorithms for special cases when the DPs satisfy additional properties like, e.g., the Monge property or total monotonicity. In this paper, we consider a new condition which assumes (among some other technical assumptions) that the rows of the DP table are monotone. Under this assumption, we introduce a novel data structure for computing $(1+\varepsilon)$-approximate DP solutions in near-linear time and space in the static setting, and with polylogarithmic update times when the DP entries change dynamically. To the best of our knowledge, our new condition is incomparable to previous conditions and is the first which allows to derive dynamic algorithms based on existing DPs. Instead of using two-dimensional arrays to store the DP tables, we store the rows of the DP tables using monotone piecewise constant functions. This allows us to store length-$n$ DP table rows with entries in $[0,W]$ using only polylog$(n,W)$ bits, and to perform operations, such as $(\min,+)$-convolution or rounding, on these functions in polylogarithmic time. We further present several applications of our data structure. For bicriteria versions of $k$-balanced graph partitioning and simultaneous source location, we obtain the first dynamic algorithms with subpolynomial update times, as well as the first static algorithms using only near-linear time and space. Additionally, we obtain the currently fastest algorithm for fully dynamic knapsack.

研究动机与目标

• 解决传统动态规划因依赖大小为二次方的表而导致的时间与空间复杂度过高的问题。
• 为DP开发一种动态算法，支持在条目变更时高效更新，而无需从头重新计算。
• 引入一种新的结构性条件——DP表行的单调性，以支持高效的数据结构与算法。
• 在k-平衡图划分与同时源点定位等关键NP难问题上实现亚多项式更新时间。
• 提供首个完全动态背包算法，其更新时间优于以往工作。

提出的方法

• 将DP表的每一行表示为单调分段常数函数，将每行的空间使用量减少至polylog(n, W)比特。
• 使用支持在这些函数上进行(min, +)-卷积与舍入操作的数据结构，且时间复杂度为亚对数级。
• 利用Räcke树维护动态图问题的近似割稀疏化器。
• 通过重新定义状态空间以强制实现单调性，对现有非单调DP进行单调化处理。
• 在某些情况下（如同时源点定位）反转DP公式，以使用其逆函数，从而实现单调性。
• 使用拓扑序与增量重新计算进行动态更新，仅限于从变更条目出发的路径上的顶点。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以利用DP表行的单调性来设计具有亚多项式更新时间的动态算法？
• RQ2 是否存在一种新的动态规划结构性条件，其与Monge或完全单调性等现有条件不可比较？
• RQ3 是否可以将现有非单调DP转换为单调形式，以支持其动态维护？
• RQ4 是否可以利用DP函数的逆函数实现单调性并支持高效动态更新？
• RQ5 该方法在背包、图划分与源点定位等基础问题上的实际影响是什么？

主要发现

• 所提出的数据显示结构在静态环境下支持(1 + ϵ)-近似DP解，时间与空间复杂度接近线性。
• 在动态更新中，该方法实现了每条目变更的亚对数更新时间，显著优于以往方法。
• 首次为双准则k-平衡图划分与同时源点定位问题实现了具有亚多项式更新时间的动态算法。
• 首次为这些问题提出了仅使用近乎线性时间与空间的静态算法，优于以往的二次空间方法。
• 获得了改进的完全动态背包算法，其性能优于Eberle等人在FSTTCS’21中的近期结果。
• 通过将Feldmann与Foschini的DP进行单调化处理，实现了此前无法实现的动态维护。