[论文解读] Dynamic mode decomposition with control

Joshua L. Proctor, Steven L. Brunton+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文提出了带控制的动态模态分解（DMDc），这是一种数据驱动方法，通过将内在动力学与外部驱动分离，从高维系统中提取低秩模型。通过利用状态和控制输入的快照，DMDc 实现了无需已知控制方程的精确输入-输出建模与系统辨识，显著优于标准 DMD 在受控系统中的表现。

ABSTRACT

We develop a new method which extends Dynamic Mode Decomposition (DMD) to incorporate the effect of control to extract low-order models from high-dimensional, complex systems. DMD finds spatial-temporal coherent modes, connects local-linear analysis to nonlinear operator theory, and provides an equation-free architecture which is compatible with compressive sensing. In actuated systems, DMD is incapable of producing an input-output model; moreover, the dynamics and the modes will be corrupted by external forcing. Our new method, Dynamic Mode Decomposition with control (DMDc), capitalizes on all of the advantages of DMD and provides the additional innovation of being able to disambiguate between the underlying dynamics and the effects of actuation, resulting in accurate input-output models. The method is data-driven in that it does not require knowledge of the underlying governing equations, only snapshots of state and actuation data from historical, experimental, or black-box simulations. We demonstrate the method on high-dimensional dynamical systems, including a model with relevance to the analysis of infectious disease data with mass vaccination (actuation).

研究动机与目标

• 为解决标准动态模态分解（DMD）在处理受控系统时因控制输入干扰而影响提取动力学的局限性。
• 开发一种数据驱动方法，以在高维系统中解耦潜在系统动力学与外部控制影响。
• 提供一种稳健的、无需方程的框架，用于从实验数据、历史数据或黑箱仿真数据中构建精确的输入-输出模型。
• 为全阶控制计算成本过高的复杂系统提供降阶建模与控制器设计支持。
• 将 DMD 的能力扩展至具有丰富非脉冲控制输入的系统，相较于传统系统辨识方法（如 ERA 和 OKID）实现改进。

提出的方法

• DMDc 构建一个扩展的数据矩阵，整合状态快照与控制输入轨迹，以捕捉系统的完整行为。
• 通过对扩展数据矩阵进行 SVD 低秩逼近，提取主导动态模态与控制影响。
• 利用改进的 DMD 算法，计算降阶系统模型，形式为矩阵 A（动力学）、B（控制影响）和 C（观测映射）。
• 通过考虑完整控制历史的最小二乘公式，直接从数据中计算矩阵 B，增强了对噪声的鲁棒性。
• 利用 DMD 与 Koopman 算子理论之间的联系，识别非线性系统中的时空相干结构。
• 采用基于快照的方法，避免求解完整系统方程，使方法可应用于黑箱或实验数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 DMD 能否被扩展以处理具有外部控制输入的系统，同时保持对潜在动力学的精确建模？
• RQ2 在高维、数据驱动的模型中，如何将控制输入的影响与内在系统动力学解耦？
• RQ3 与传统系统辨识方法（如 ERA 和 OKID）相比，DMDc 在抗噪声能力和输入信号灵活性方面有多大的优势？
• RQ4 DMDc 能否有效应用于现实世界中的高维系统，如包含干预数据的流行病学模型？
• RQ5 在复杂系统中，当测量数据有限或稀疏时，DMDc 在识别低秩输入-输出模型方面的性能如何？

主要发现

• DMDc 有效分离了潜在动力学与控制影响，即使在外部激励存在的情况下，也能实现精确的输入-输出建模。
• 该方法为系统辨识技术（如 ERA 和 OKID）提供了稳健且计算高效的替代方案，尤其适用于具有丰富输入信号的系统。
• 与 ERA 相比，DMDc 在计算控制影响矩阵 B 时表现出更强的抗噪能力，尤其是在使用更长控制历史时。
• 该方法无需了解底层控制方程，即可实现对高维系统的精确降阶建模。
• 在流行病学案例研究中，DMDc 成功建模了大规模疫苗接种（控制）对疾病传播的影响，从历史数据中提取了有意义的动力学特征。
• 该方法在保持与系统辨识方法相当精度的同时，具备更高的灵活性与可扩展性，尤其适用于具有复杂或非脉冲控制输入的系统。