[论文解读] Dynamic Optimization with Convergence Guarantees

Martin Neuenhofen, Eric C. Kerrigan|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 44被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的直接配点法，用于求解具有非线性微分和不等式约束的动态最优控制问题，采用积分二次惩罚函数处理等式约束，使用对数障碍函数处理不等式约束。在有界性和利普希茨连续性的温和假设下，证明了该方法收敛至真实解，且无需假设唯一性、可微性或约束资格条件，并展示了其相较于传统配点法更优的收敛行为。

ABSTRACT

We present a novel direct transcription method to solve optimization problems subject to nonlinear differential and inequality constraints. We prove convergence of our numerical method under reasonably mild assumptions: boundedness and Lipschitz-continuity of the problem-defining functions. We do not require uniqueness, differentiability or constraint qualifications to hold and we avoid the use of Lagrange multipliers. Our approach differs fundamentally from well-known methods based on collocation; we follow a penalty-barrier approach, where we compute integral quadratic penalties on the equality path constraints and point constraints, and integral log-barriers on the inequality path constraints. The resulting penalty-barrier functional can be minimized numerically using finite elements and penalty-barrier interior-point nonlinear programming solvers. Order of convergence results are derived, even if components of the solution are discontinuous. We also present numerical results to compare our method against collocation methods. The numerical results show that for the same degree and mesh, the computational cost is similar, but that the new method can achieve a smaller error and converges in cases where collocation methods fail.

研究动机与目标

• 开发一种数值鲁棒且可证明收敛的算法，用于求解具有非线性微分和不等式约束的无限维最优控制问题。
• 消除对拉格朗日乘子、约束资格条件或可微性假设的依赖，这些假设在现有方法中普遍存在。
• 在最小假设下提供严格的收敛性保证：问题函数的有界性和利普希茨连续性。
• 克服基于配点法的已知失效模式，特别是在刚性或不连续问题中。
• 即使解分量存在不连续性，也能建立收敛阶结果。

提出的方法

• 该方法采用积分二次惩罚函数来强制执行等式路径约束，使用积分对数障碍函数来处理不等式路径约束。
• 通过有限元空间离散化，将无限维最优控制问题转化为有限维非线性规划问题。
• 利用内点非线性规划求解器最小化惩罚-障碍泛函，避免了对拉格朗日乘子的需求。
• 该方法采用希尔伯特空间框架表示解候选，确保状态变量的连续性以及控制量的可积性。
• 在温和假设下证明了收敛性：解的存在性，以及代价函数和约束函数的有界性与利普希茨连续性。
• 该方法设计用于处理不可微或非唯一解的情况，因此在实际应用中具有鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种直接配点法，能够在不依赖可微性或约束资格条件的前提下，实现对真实解的收敛？
• RQ2 在复杂情况下，采用积分惩罚与对数障碍的惩罚-障碍方法是否相比传统配点法具有更优的收敛行为？
• RQ3 能否仅基于问题函数的有界性和利普希茨连续性假设，严格证明收敛性？
• RQ4 当标准配点法无法收敛时，该方法在这些问题上的表现如何？
• RQ5 该方法的收敛阶是多少，特别是在解分量存在不连续性的情况下？

主要发现

• 该方法在仅需有界性和利普希茨连续性等温和假设下，即可证明收敛至真实最优解，无需假设唯一性或约束资格条件。
• 该方法在勒让德-高斯-拉道-配点法失效的情况下仍能收敛，即使对于任意阶次的参数化问题亦然。
• 在相同网格和多项式阶次下，计算成本与配点法相当，但新方法的误差更小。
• 即使解的分量存在不连续性，该方法仍能提供收敛阶结果，而许多现有方法在该情形下会失效。
• 证明了惩罚-障碍泛函关于解范数是利普希茨连续的，支持数值稳定性。
• 当障碍参数 $\tau \to 0$ 时，对数障碍项的有界性为 $\mathcal{O}(\tau^{1-\zeta})$，确保障碍项保持良好行为。