[论文解读] Dynamic Parameterized Problems and Algorithms

David R. Gibb, Bruce M. Kapron+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Energy Efficient Wireless Sensor Networks参考文献 5被引用 40

一句话总结

本文提出了一种动态图连通性数据结构，其最坏情况更新时间为 O(log⁴n)，空间复杂度为 O(n log²n) 的次线性空间，相较于先前工作将更新时间降低了 log n 因子。该方法利用一种新颖的割集数据结构，结合 L0 采样与高效的 1-稀疏恢复技术，以高概率维护生成森林，从而在保证高概率正确查询结果的同时实现次线性空间，适用于长度为多项式级别的更新序列。

ABSTRACT

Fixed-parameter algorithms and kernelization are two powerful methods to solve NP-hard problems. Yet, so far those algorithms have been largely restricted to static inputs. In this paper we provide fixed-parameter algorithms and kernelizations for fundamental NP-hard problems with dynamic inputs. We consider a variety of parameterized graph and hitting set problems which are known to have f(k)n^{1+o(1)} time algorithms on inputs of size n, and we consider the question of whether there is a data structure that supports small updates (such as edge/vertex/set/element insertions and deletions) with an update time of g(k)n^{o(1)}; such an update time would be essentially optimal. Update and query times independent of n are particularly desirable. Among many other results, we show that Feedback Vertex Set and k-Path admit dynamic algorithms with f(k)log O(1) n update and query times for some function f depending on the solution size k only. We complement our positive results by several conditional and unconditional lower bounds. For example, we show that unlike their undirected counterparts, Directed Feedback Vertex Set and Directed k-Path do not admit dynamic algorithms with n^{o(1) } update and query times even for constant solution sizes k <= 3, assuming popular hardness hypotheses. We also show that unconditionally, in the cell probe model, Directed Feedback Vertex Set cannot be solved with update time that is purely a function of k.

研究动机与目标

• 设计一种完全动态图连通性算法，实现更快的最坏情况更新时间与次线性空间使用。
• 实现 O(log⁴n) 的最坏情况更新时间，相较于先前的 O(log⁵n) 边界提升一个 log n 因子。
• 仅使用 O(n log²n) 个字的空间，在多项式长度的更新序列上以高概率保持正确性。
• 将该方法扩展至动态 2-边连通性，实现次线性空间与改进的摊销更新时间。

提出的方法

• 引入一种新型割集数据结构，通过 O(log n) 个层级维护生成森林，每一层级包含一棵树的森林。
• 采用 L0 采样与一种基于 2 的幂次模算术的新 1-稀疏恢复技术，以常数概率识别跨越割集的边。
• 通过分层采样，利用哈希函数 hj 和 fj,b 在不同层级对边进行标记，从而高效搜索树割集中离开的边。
• 在每个节点维护辅助向量 si(x) 与 s′i,j,b(x)，以追踪边名称与标签的总和，通过非零向量和实现对割集边的快速检测。
• 对多项式模素数求值，以高概率验证边名称的唯一恢复，将错误率降低至 1/n^c（c 为任意常数）。
• 在多个独立的黑箱动态连通性结构（CONN1, CONN2）与一个 2-边连通性预言机（2-EDGE）上进行独立随机采样，以维护 2-边连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以 O(log⁴n) 的最坏情况更新时间与次线性空间维护动态图连通性？
• RQ2 割集数据结构能否仅使用 O(n log n) 个字的空间，以常数概率识别树割集中的一条离开边？
• RQ3 该算法能否在使用 O(n log²n) 空间的同时，确保在多项式长度更新序列上以高概率保持查询结果的正确性？
• RQ4 该方法能否扩展至动态 2-边连通性，实现次线性空间与 O(log⁶n) 的摊销更新时间？

主要发现

• 本文实现了动态图连通性 O(log⁴n) 的最坏情况更新时间，相较于先前的 O(log⁵n) 边界提升了 log n 倍。
• 该算法仅使用 O(n log²n) 个字的空间，与 2012 年最高效的动态图流算法的空间复杂度一致。
• 查询以 O(log n / log log n) 时间完成，且以高概率正确，适用于多项式长度的更新序列。
• 该算法支持动态 2-边连通性，其摊销更新时间为 O(log⁶n)，查询时间为 O(log n / log log n)，空间使用为 O(n log²n)。
• 割集数据结构以高概率（1 - 1/n^c）确保返回的边属于割集，且恢复方法仅需 O((c + d) lg n) 次模 2 的幂次乘法。
• 该方法实现双侧错误概率 1/n^c；若额外使用 O(m) 空间，可将错误降为单侧，其中 '是' 答案始终正确。