[论文解读] Dynamic Pricing with Demand Covariates

Sheng Qiang, Mohsen Bayati|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Advanced Bandit Algorithms Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文证明，在动态定价中，即使没有显式探索，仅通过需求协变量的贪婪迭代最小二乘法（GILS）也能实现 $\log(T)$ 阶的渐近最优遗憾。无论协变量是否具有信息量，其引入都会自动引发足够的价格分散以促进学习，从而消除强制实验的需要，并解决在数据丰富的环境中GILS存在的不完全学习问题。

ABSTRACT

We consider a firm that sells products over $T$ periods without knowing the demand function. The firm sequentially sets prices to earn revenue and to learn the underlying demand function simultaneously. A natural heuristic for this problem, commonly used in practice, is greedy iterative least squares (GILS). At each time period, GILS estimates the demand as a linear function of the price by applying least squares to the set of prior prices and realized demands. Then a price that maximizes the revenue, given the estimated demand function, is used for the next time period. The performance is measured by the regret, which is the expected revenue loss from the optimal (oracle) pricing policy when the demand function is known. Recently, den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014) demonstrated that GILS is sub-optimal. They introduced algorithms which integrate forced price dispersion with GILS and achieve asymptotically optimal performance. In this paper, we consider this dynamic pricing problem in a data-rich environment. In particular, we assume that the firm knows the expected demand under a particular price from historical data, and in each period, before setting the price, the firm has access to extra information (demand covariates) which may be predictive of the demand. We prove that in this setting GILS achieves asymptotically optimal regret of order $\log(T)$. We also show the following surprising result: in the original dynamic pricing problem of den Boer and Zwart (2014) and Keskin and Zeevi (2014), inclusion of any set of covariates in GILS as potential demand covariates (even though they could carry no information) would make GILS asymptotically optimal. We validate our results via extensive numerical simulations on synthetic and real data sets.

研究动机与目标

• 探究在贪婪迭代最小二乘法（GILS）定价策略中引入需求协变量，是否能解决GILS固有的不完全学习问题，而无需强制价格分散。
• 建立理论条件，以确保在未知需求函数下，GILS结合协变量在动态定价中实现渐近最优遗憾。
• 证明即使无关的协变量也能引发足够的探索，使GILS渐近最优，从而消除对独立探索策略的需求。
• 通过在合成数据和真实世界数据集上的广泛数值模拟，验证理论发现。
• 将模型推广至非独立同分布（non-i.i.d.）协变量和鞅差分扰动，将结果的应用范围从独立同分布假设中扩展出来。

提出的方法

• 将动态定价形式化为一个序列决策问题：企业在 $T$ 个时期内设定价格，以在学习未知需求函数的同时最大化收益。
• 将需求建模为价格和协变量的线性函数，附加独立同分布（i.i.d.）或鞅差分扰动，并在每个时期使用最小二乘法估计需求函数。
• 应用GILS：在每个时间 $t$，利用历史数据（价格和实际需求）估计需求函数，然后基于当前估计选择收益最大化的价格。
• 证明设计矩阵（价格与协变量）的最小奇异值会集中在正的下界附近，从而确保估计的稳定性和收敛性。
• 采用近期的矩阵鞅集中不等式（Tropp, 2011），推导出估计误差和遗憾的紧致界。
• 通过仅要求条件期望为零、条件协方差矩阵的特征值有界，将分析扩展至非独立同分布协变量和一般误差过程，确保结果的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在GILS中引入需求协变量是否能实现动态定价中的渐近最优遗憾，即使没有显式探索？
• RQ2 即使协变量无关或无信息，是否仍能引发足够的价格分散以解决GILS的不完全学习问题？
• RQ3 确保GILS结合协变量实现 $O(\log T)$ 遗憾边界的充分条件是什么？
• RQ4 GILS结合协变量的策略对协变量和扰动的独立同分布假设违反有多鲁棒？
• RQ5 理论遗憾边界是否可推广至独立同分布序列之外的一般随机过程？

主要发现

• GILS结合需求协变量可实现 $O(\log T)$ 阶的渐近最优遗憾，与该类问题的理论下界一致。
• 无论协变量是否具有预测能力，只要引入任意一组协变量，即可自动引发足够的探索，使GILS渐近最优。
• 遗憾边界通过最小奇异值的紧致集中不等式推导得出，依赖于矩阵鞅集中不等式（Tropp, 2011）。
• 当价格项系数为零时，$O(\log T)$ 边界中的常数仍保持有限，表明对模型误设具有鲁棒性。
• 理论结果在一般假设下成立：协变量仅需满足条件期望为零，且其条件协方差矩阵的特征值一致有界。
• 在合成数据和真实数据上的数值模拟结果证实，$O(\log T)$ 遗憾性能在各种模型违背和数据条件下均保持鲁棒。