[论文解读] Dynamic programming for infinite horizon boundary control problems of PDE's with age structure

Silvia Faggian, Fausto Gozzi|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文为具有年龄结构的线性PDE控制问题建立了无限时域边界控制的动态规划方法，证明了值函数是平稳Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程的唯一C¹解，且存在唯一的反馈控制。结果通过从有限时域问题的极限过程推导得出，将先前工作扩展至无限时间域，涵盖无界控制算子和非光滑运行成本，并应用于经济增长中的新质资本模型。

ABSTRACT

We develop the dynamic programming approach for a family of infinite horizon boundary control problems with linear state equation and convex cost. We prove that the value function of the problem is the unique regular solution of the associated stationary Hamilton--Jacobi--Bellman equation and use this to prove existence and uniqueness of feedback controls. The idea of studying this kind of problem comes from economic applications, in particular from models of optimal investment with vintage capital. Such family of problems has already been studied in the finite horizon case by Faggian. The infinite horizon case is more difficult to treat and it is more interesting from the point of view of economic applications, where what mainly matters is the behavior of optimal trajectories and controls in the long run. The study of infinite horizon is here performed through a nontrivial limiting procedure from the corresponding finite horizon problem.

研究动机与目标

• 为具有线性PDE和年龄结构的无限时域边界控制问题发展动态规划方法。
• 在无界控制算子和凸的、可能为无穷值的成本下，建立值函数为平稳HJB方程的唯一C¹解。
• 通过从有限时域问题的极限过程，证明最优反馈控制的存在性与唯一性。
• 将该框架应用于具有新质资本的最优投资经济模型，特别是涉及非线性或受限投资成本的情形。
• 确保当初始数据属于H时，最优轨迹和控制保持在原始状态空间H中，尽管出于技术原因在扩展空间V′中进行分析。

提出的方法

• 在加权Lp空间中使用控制的凸的、可能为无穷值的代价泛函，制定无限时域控制问题，其状态方程为线性。
• 采用从有限时域问题出发的极限过程，其中值函数ΨT已知满足演化HJB方程。
• 在扩展的对偶空间V′ ⊃ H中工作，以处理无界控制算子B和哈密顿量的不连续性。
• 证明有限时域值函数ΨT在T → ∞时收敛于极限Ψ∞，并证明该极限满足平稳HJB方程。
• 应用Barbu和Da Prato的凸正则化方法，并针对边界控制和非解析半群进行改进。
• 验证当初始数据x ∈ H时，最优轨迹保持在H中，从而确保解的物理和经济意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 动态规划原理能否扩展至具有无界控制算子和年龄结构PDE的无限时域边界控制问题？
• RQ2 此类无限时域问题的值函数是否为平稳Hamilton–Jacobi–Bellman方程的唯一C¹解？
• RQ3 此类问题是否存在唯一的最优反馈控制，且能否通过HJB方程表征？
• RQ4 当控制算子无界时，如何严格地从有限时域情形推导无限时域问题？
• RQ5 在初始状态属于H的情况下，尽管分析在更大的对偶空间V′中进行，最优轨迹在什么条件下仍保持在原始状态空间H中？

主要发现

• 值函数Z∞(0,x)是平稳HJB方程（1.4）的唯一C¹解，确保了解的正则性和唯一性。
• 值函数是有限时域值函数ΨT在T → ∞时的逐点极限，确立了极限过程的收敛性。
• 存在唯一的最优反馈控制，且由值函数的梯度表征，为控制问题提供了构造性解法。
• 当初始状态x ∈ H时，最优轨迹始终保留在原始Hilbert空间H中，即使分析在更大的空间V′中进行。
• 该结果适用于具有非二次或次线性生产函数的新型资本经济模型，将先前工作扩展至包含非二次和子线性生产函数的情形。
• 该框架可容纳无约束和有约束的控制，后者通过扩展实值、凸的、下半连续代价函数h₀建模。