[论文解读] Dynamic Ranking with the BTL Model: A Nearest Neighbor based Rank Centrality Method

Eglantine Karlé, Hemant Tyagi|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于 Bradley-Terry-Luce (BTL) 模型的动态排序方法，采用最近邻加权 Rank Centrality 方法，从随时间演化的成对比较图中估计时变项目强度。在 Erdös-Rényi 图假设下，建立了非渐近的 $\varepsilon_2$ 和 $\varepsilon_\infty$ 误差界，证明了在时间上对动态项目排序估计的一致性。

ABSTRACT

Many applications such as recommendation systems or sports tournaments involve pairwise comparisons within a collection of $n$ items, the goal being to aggregate the binary outcomes of the comparisons in order to recover the latent strength and/or global ranking of the items. In recent years, this problem has received significant interest from a theoretical perspective with a number of methods being proposed, along with associated statistical guarantees under the assumption of a suitable generative model. While these results typically collect the pairwise comparisons as one comparison graph $G$, however in many applications - such as the outcomes of soccer matches during a tournament - the nature of pairwise outcomes can evolve with time. Theoretical results for such a dynamic setting are relatively limited compared to the aforementioned static setting. We study in this paper an extension of the classic BTL (Bradley-Terry-Luce) model for the static setting to our dynamic setup under the assumption that the probabilities of the pairwise outcomes evolve smoothly over the time domain $[0,1]$. Given a sequence of comparison graphs $(G_{t'})_{t' \\in \\mathcal{T}}$ on a regular grid $\\mathcal{T} \\subset [0,1]$, we aim at recovering the latent strengths of the items $w_t^* \\in \\mathbb{R}^n$ at any time $t \\in [0,1]$. To this end, we adapt the Rank Centrality method - a popular spectral approach for ranking in the static case - by locally averaging the available data on a suitable neighborhood of $t$. When $(G_{t'})_{t' \\in \\mathcal{T}}$ is a sequence of Erd\\"os-Renyi graphs, we provide non-asymptotic $\\ell_2$ and $\\ell_{\\infty}$ error bounds for estimating $w_t^*$ which in particular establishes the consistency of this method in terms of $n$, and the grid size $\\lvert\\mathcal{T}\ vert$. We also complement our theoretical analysis with experiments on real and synthetic data.

研究动机与目标

• 解决在成对比较图随时间演化时，动态排序场景中缺乏理论保证的问题。
• 将静态 Rank Centrality 方法扩展到具有时变项目强度的动态设置下，基于 BTL 模型。
• 为估计时变项目强度 $w_t^*$ 提供非渐近的 $\varepsilon_2$ 和 $\varepsilon_\infty$ 误差界。
• 通过局部平均和联合界论证，在时间区间 $[0,1]$ 上确保一致性的成立。
• 在合成数据和真实世界数据上对方法进行经验验证。

提出的方法

• 通过在时间 $t$ 的邻域内对比较数据进行局部平均，利用最近邻核，将静态 Rank Centrality 谱方法进行适应性调整。
• 基于 $t$ 周围时间窗口内的比较图 $G_{t'}$，在每个时间 $t$ 构造估计的转移矩阵 $\widehat{P}(t)$。
• 利用 $\widehat{P}(t)$ 的最大特征向量来估计时间 $t$ 的归一化排序向量 $\widehat{\pi}(t)$。
• 在 $O(T)$ 个时间点上应用联合界，以在时间区间 $[0,1]$ 全局范围内建立一致的误差界。
• 假设项目强度随时间平滑演化，并将比较图建模为 Erdös-Rényi 随机图的实现。
• 对真实排序向量 $\pi^*(t)$ 使用利普希茨连续性假设，以控制估计误差中的时间变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将谱排序方法调整为估计在具有平滑时间演化的动态 BTL 模型中时变的项目强度？
• RQ2 在动态设置下，能否为估计的排序向量导出非渐近误差界？
• RQ3 对时间邻域的局部平均如何影响动态排序估计的一致性和准确性？
• RQ4 在何种条件下，最近邻 Rank Centrality 方法能在时间区间 $[0,1]$ 上实现一致估计？
• RQ5 误差界如何随项目数量 $n$、网格大小 $|\mathcal{T}|$ 以及每对项目之间的比较次数而变化？

主要发现

• 所提出的最近邻 Rank Centrality 方法在高概率下实现了统一的 $\ell_2$ 误差界，阶为 $O\left(\frac{1}{\sqrt{n p L}}\right)$，其中 $p$ 为边概率，$L$ 为每对项目的比较次数。
• 该方法实现了统一的 $\ell_\infty$ 误差界，阶为 $O\left(\sqrt{\frac{\log n}{n p L}}\right)$，在适当条件下可实现对前 $K$ 名排名的精确恢复。
• 理论分析在比较图为 Erdös-Rényi 随机图的假设下，建立了该方法在 $n$ 和网格大小 $|\mathcal{T}|$ 上的一致性。
• 误差界在 $t \in [0,1]$ 上以至少 $1 - O(T n^{-c})$ 的概率一致成立，其中 $c$ 为大常数（例如 9 或 10）。
• 通过使用局部平均和真实排序向量 $\pi^*(t)$ 的利普希茨连续性，证明了该方法对时间变化的鲁棒性。
• 在合成数据和真实数据上的实证结果验证了该方法的性能，并支持了理论发现。