[论文解读] Dynamic shape analysis and comparison of leaf growth

Stephan Huckemann|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Morphological variations and asymmetry参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在显式公式不可用时计算形状空间中测地线路径上平行移动的数值方法，实现了对叶片生长轨迹的动态比较。应用于北美黑杨叶片时，结果表明初始形状与终止形状不同的叶片通常沿平行测地线生长，支持植物形态学中的“平行生长假说”。

ABSTRACT

In the statistical analysis of shape a goal beyond the analysis of static shapes lies in the quantification of `same' deformation of different shapes. Typically, shape spaces are modelled as Riemannian manifolds on which parallel transport along geodesics naturally qualifies as a measure for the `similarity' of deformation. Since these spaces are usually defined as combinations of Riemannian immersions and submersions, only for few well featured spaces such as spheres or complex projective spaces (which are Kendall's spaces for 2D shapes), parallel transport along geodesics can be computed explicitly. In this contribution a general numerical method to compute parallel transport along geodesics when no explicit formula is available is provided. This method is applied to the shape spaces of closed 2D contours based on angular direction and to Kendall's spaces of shapes of arbitrary dimension. In application to the temporal evolution of leaf shape over a growing period, one leaf's shape-growth dynamics can be applied to another leaf. For a specific poplar tree investigated it is found that leaves of initially and terminally different shape evolve rather parallel, i.e. with comparable dynamics.

研究动机与目标

• 开发一种通用的数值方法，用于在显式公式不可用的黎曼形状空间中计算平行移动。
• 实现对生物形态随时间动态形状变化的定量比较，特别是叶片随时间的生长过程。
• 检验叶片形状演化是否遵循测地线，以及具有不同初始和终止形状的个体之间，其动态是否具有平行性。
• 评估基于标志点的肯德尔形状空间在高效计算和映射回非参数轮廓表示方面的可行性。
• 通过将其扩展为“平行假说”，评估“测地线假说”的生物学相关性。

提出的方法

• 通过黎曼浸入和子mersions的微分方程，将形状空间中的平行移动计算提升至环境欧几里得空间或希尔伯特空间。
• 使用协变导数方程（如 ∇γ̇W = 0）定义曲线上的平行向量场，当闭式解不可行时通过数值求解。
• 将该方法应用于两种形状空间：Σ_ZR（通过角度方向表示的闭合二维轮廓）和肯德尔的基于标志点的形状空间。
• 使用轮廓角度方向的傅里叶系数表示Σ_ZR中的形状，从而实现对完整叶片轮廓的非参数重建。
• 通过正多边形配置比较Σ_ZR与肯德尔空间中的平行移动结果，以评估几何一致性。
• 引入基于相关性的度量 μ(v,w)（公式20）以量化测地线初始速度向量之间的平行性，同时考虑高维噪声的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏显式公式的情况下，是否能可靠地计算形状空间中的平行移动，特别是对于复杂的生物形状？
• RQ2 具有不同初始和终止形状的叶片，其在形状空间中沿测地线路径测量的生长动力学是否表现出相似性？
• RQ3 以角度方向为基础的Σ_ZR（闭合轮廓子空间）的几何结构与肯德尔形状空间相比，在曲率和平行移动行为方面有何差异？
• RQ4 基于标志点的形状空间在多大程度上可用于通过平行移动近似完整轮廓的动力学，并随后映射为非参数表示？
• RQ5 观察到的叶片生长轨迹相似性是否支持将“测地线假说”扩展为“平行生长假说”？

主要发现

• 对于一株加拿大黑杨，初始形状与终止形状不同的叶片表现出高度平行的测地线生长动力学，表现为高μ(v,w)值（例如，be1b8为0.99，be1b3为0.96）。
• 基于相关性的平行性度量μ(v,w)表明，即使在高维空间（201维）中，相关系数ρ(v,w) ≈ 0.17–0.44的向量仍表现出强烈的平行性，这归因于高维球面的统计特性。
• Σ_ZR中闭合轮廓的子空间是平坦的，而肯德尔形状空间的截面曲率下界为1，表明存在根本性的几何差异。
• 沿be1b8移植的测地线投影的叶片轮廓在后期阶段出现轻微自交现象，表明当前Σ_ZR的度量在建模自然生长方面可能存在局限性。
• 该方法实现了在肯德尔空间中的高效计算，随后在Σ_ZR中进行非参数轮廓重建，为动态形状分析提供了一个可扩展的框架。
• 如叶片be2b1所示，偏离移植测地线路径的现象可能表明生物体对形状缺陷的适应性，提示自然生长可能偏离理想化的测地线路径。