[论文解读] Dynamic Sketching for Graph Optimization Problems with Applications to Cut-Preserving Sketches

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了图优化的动态草图模型，将静态图压缩为大小为 poly(k) 的紧凑草图（k 个终端），从而在终端之间的边动态更新时，能够高效计算最大匹配和边割保持等问题。该文证明了最大匹配的紧致 O(k²) 上界，并推导出大小为 O(kC²) 的边割保持草图；信息论下界表明，对于最大团和顶点覆盖等问题，需要 2Ω(k) 的空间。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new model for sublinear algorithms called \emph{dynamic sketching}. In this model, the underlying data is partitioned into a large \emph{static} part and a small \emph{dynamic} part and the goal is to compute a summary of the static part (i.e, a \emph{sketch}) such that given any \emph{update} for the dynamic part, one can combine it with the sketch to compute a given function. We say that a sketch is \emph{compact} if its size is bounded by a polynomial function of the length of the dynamic data, (essentially) independent of the size of the static part. A graph optimization problem $P$ in this model is defined as follows. The input is a graph $G(V,E)$ and a set $T \subseteq V$ of $k$ terminals; the edges between the terminals are the dynamic part and the other edges in $G$ are the static part. The goal is to summarize the graph $G$ into a compact sketch (of size poly$(k)$) such that given any set $Q$ of edges between the terminals, one can answer the problem $P$ for the graph obtained by inserting all edges in $Q$ to $G$, using only the sketch. We study the fundamental problem of computing a maximum matching and prove tight bounds on the sketch size. In particular, we show that there exists a (compact) dynamic sketch of size $O(k^2)$ for the matching problem and any such sketch has to be of size $Ω(k^2)$. Our sketch for matchings can be further used to derive compact dynamic sketches for other fundamental graph problems involving cuts and connectivities. Interestingly, our sketch for matchings can also be used to give an elementary construction of a \emph{cut-preserving vertex sparsifier} with space $O(kC^2)$ for $k$-terminal graphs; here $C$ is the total capacity of the edges incident on the terminals. Additionally, we give an improved lower bound (in terms of $C$) of $Ω(C/\log{C})$ on size of cut-preserving vertex sparsifiers.

研究动机与目标

• 开发一种新的子线性算法模型——动态草图，将图的静态部分与动态部分分离，以实现高效的查询响应。
• 研究在终端边动态更新下，最大匹配、s-t 边连通性以及边割保持等基础图问题的空间复杂度。
• 为关键问题的草图大小建立紧致的上下界，证明 O(k²) 对于最大匹配是最优的。
• 展示如何利用匹配的动态草图构造大小为 O(kC²) 的边割保持顶点压缩图，与目前已知的最佳上界一致。
• 通过证明最大团和最小顶点覆盖等问题的指数级下界，揭示动态草图框架的内在局限性。

提出的方法

• 提出 k-动态草图模型，将具有 k 个终端的图压缩为大小为 poly(k) 的草图，且与完整图的大小无关。
• 设计一种压缩算法以总结图的静态边，以及一种提取算法，将草图与动态边更新结合以回答查询。
• 通过从成员问题的归约，证明最大团问题的草图大小下界为 Ω(2k)。
• 将匹配草图应用于构造大小为 O(kC²) 的边割保持顶点压缩图，其中 C 为总终端容量。
• 建立动态草图的 s-t 最大流与边割保持顶点压缩图大小之间的联系，表明在其中一个方向上的进展将直接推动另一个方向的进展。
• 利用信息论论证表明，即使在计算能力无限的条件下，某些 P 类问题仍需要 2Ω(k) 的空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为最大匹配问题设计一种紧凑的动态草图，支持终端边的高效更新，且草图大小为 poly(k)？
• RQ2 动态草图在最大匹配问题上的最优草图大小是多少？能否证明其紧致性？
• RQ3 能否利用匹配的动态草图构造出大小为 O(kC²) 的边割保持顶点压缩图，与已知上界一致？
• RQ4 是否存在 P 类问题，即使计算能力无限，其动态草图大小仍需超多项式时间（关于 k）？
• RQ5 动态草图的 s-t 最大流问题与边割保持顶点压缩图的大小之间是否存在联系？

主要发现

• 最大匹配问题存在大小为 O(k²) 的动态草图，且该界是紧致的：任何此类草图的大小必须为 Ω(k²)。
• 匹配草图可用来构造大小为 O(kC²) 的边割保持顶点压缩图，与目前已知的最佳上界一致。
• 为最大团问题证明了信息论下界 2Ω(k)，表明该问题不存在紧凑的动态草图。
• 通过团与顶点覆盖之间的对偶性，为最小顶点覆盖问题也建立了类似的 2Ω(k) 下界。
• 对于 P 类中的一类布尔函数，任何动态草图都需要 min{2k, n} 的空间，揭示了该框架的内在局限性。
• 在 s-t 最大流问题的动态草图上取得进展，将直接导致边割保持顶点压缩图大小的改进。