[论文解读] Dynamic Time Warping and Geometric Edit Distance: Breaking the Quadratic Barrier

Omer Gold, Micha Sharir|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Time Series Analysis and Forecasting参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文提出了首个用于在 R 中计算两个 n 点序列之间动态时间规整（DTW）和几何编辑距离（GED）的确定性算法，时间复杂度为 O(n²/log log n)，打破了持续近五十年的 O(n²) 二次时间瓶颈。该方法采用分治策略，结合扩展弗雷德曼技巧和 SMAWK 算法在分解后的子问题上的创新应用，使在 L1 和 L∞ 等多面体度量下，DTW 和 GED 均实现亚二次时间性能。

ABSTRACT

Dynamic Time Warping (DTW) and Geometric Edit Distance (GED) are basic similarity measures between curves or general temporal sequences (e.g., time series) that are represented as sequences of points in some metric space (X, dist). The DTW and GED measures are massively used in various fields of computer science and computational biology, consequently, the tasks of computing these measures are among the core problems in P. Despite extensive efforts to find more efficient algorithms, the best-known algorithms for computing the DTW or GED between two sequences of points in X = R^d are long-standing dynamic programming algorithms that require quadratic runtime, even for the one-dimensional case d = 1, which is perhaps one of the most used in practice. In this paper, we break the nearly 50 years old quadratic time bound for computing DTW or GED between two sequences of n points in R, by presenting deterministic algorithms that run in O( n^2 log log log n / log log n ) time. Our algorithms can be extended to work also for higher dimensional spaces R^d, for any constant d, when the underlying distance-metric dist is polyhedral (e.g., L_1, L_infty).

研究动机与目标

• 打破近五十年来计算 R 中点序列间 DTW 和 GED 的 O(n²) 时间复杂度瓶颈。
• 将亚二次性能扩展至在 L1 和 L∞ 等多面体度量下的高维空间 Rd。
• 提供一种确定性算法，优于长期存在的二次时间动态规划方法。
• 支持需要在时间序列和轨迹数据上快速计算相似性的实际应用。

提出的方法

• 将输入序列分解为块，并采用分治策略处理子问题。
• 应用改进版的扩展弗雷德曼技巧，高效比较网格子问题中阶梯路径的成本。
• 使用 SMAWK 算法处理完全单调矩阵，以优化动态规划转移。
• 将每个子问题表示为带权网格图，其中边包括垂直、水平和对角线边，边权对应距离或间隙惩罚。
• 通过 R-边界计算维护并传播子问题边界上的最优路径成本。
• 通过将单调匹配建模为带间隙惩罚 ρ 的网格中的路径，将该框架适配至 GED，并应用相同的优化技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用确定性算法打破在一维序列上计算 DTW 的 O(n²) 时间复杂度？
• RQ2 在标准线性间隙惩罚下，是否可将亚二次性能从 DTW 扩展至几何编辑距离（GED）？
• RQ3 相同的算法框架能否适配至具有 L1 和 L∞ 等多面体度量的高维空间 Rd？
• RQ4 扩展弗雷德曼技巧如何应用于非均匀边权下的基于网格的动态规划中路径成本的比较？
• RQ5 能否通过高级矩阵选择技术进一步降低时间复杂度中的 log log n 因子？

主要发现

• 本文实现了计算 R 中两个 n 点序列间 DTW 的确定性 O(n²/log log n) 时间算法，打破了五十年来的时间复杂度瓶颈。
• 相同的算法框架被扩展用于在相同时间复杂度下计算 GED，支持最优匹配与成本计算。
• 该方法适用于任意常数 d 的高维空间 Rd，当底层度量为多面体度量（如 L1 或 L∞）时依然有效。
• 该方法创新性地结合了分治策略、扩展弗雷德曼技巧和 SMAWK 算法，以优化动态规划表。
• 该算法支持更一般的间隙惩罚函数，包括点坐标线性函数，增强了对异常值的鲁棒性。
• 通过 SMAWK 算法进一步削减了 log log log n 因子，时间复杂度得到优化，如致谢部分所提及。