[论文解读] Dynamical Borel-Cantelli lemma for recurrence theory

Mumtaz Hussain, Bing Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在保测度动力系统中建立了递归集的动态Borel-Cantelli引理，证明了在Ahlfors正则性、指数混合性、有界膨胀性和共形性条件下，递归集R(ψ) = {x ∈ X : d(Tⁿx, x) < ψ(n) i.m. n}的µ-测度满足零-全律。关键结果为：若∑ψⁿ(δ) < ∞，则µ(R(ψ)) = 0；若∑ψⁿ(δ) = ∞，则µ(R(ψ)) = 1。该结果将先前方法失效的β-动力系统和连分数系统推广至更广范围。

ABSTRACT

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研究动机与目标

• 建立一般动力系统中递归集R(ψ)测度的零-全律，以弥补先前结果的局限性。
• 解决β-动力系统和连分数等系统中递归集缺乏适用判据的问题，这些系统不满足开集条件或有限共形IFS假设。
• 通过提供适用于Rᵈ中紧子集上扩张映射且度量与不变测度相容的框架，统一并推广现有结果。
• 证明∑ψⁿ(δ)的收敛性或发散性决定R(ψ)的测度，其中δ为Ahlfors维数。
• 通过在结构条件下引入一个通用函数ψ(n)量化递归速率，推广Boshernitzan的递归结果。

提出的方法

• 将递归集R(ψ)定义为满足d(Tⁿx, x) < ψ(n)对无穷多n成立的点x ∈ X的集合。
• 假设系统(X, µ, T)满足五项关键条件：Ahlfors正则性（I）、指数混合性（II）、有界膨胀性（III）、∑(KJₙ)⁻ᵟ ≤ K的统一控制（IV）以及共形性（V）。
• 利用Ahlfors正则性将球的测度与半径的δ次方相关联。
• 通过使用柱集和膨胀控制估计集合An = {x : d(Tⁿx, x) < ψ(n)}的测度，在动力系统中应用Borel-Cantelli引理。
• 利用指数混合性控制集合An与T⁻ⁿF之间的相关性，确保类似独立的行为。
• 利用共形性和有界膨胀性控制小球在Tⁿ作用下的扩张，从而实现原像测度的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，递归集R(ψ) = {x ∈ X : d(Tⁿx, x) < ψ(n) i.m. n}的µ-测度为0或1？
• RQ2 能否在非有限共形迭代函数系统或不满足开集条件的自相似集之外的动力系统中建立递归性的零-全律？
• RQ3 是否存在一个通用函数ψ(n)，使得∑ψⁿ(δ)的收敛性或发散性决定R(ψ)的测度，且与系统具体结构无关？
• RQ4 不变测度的Ahlfors维数δ与扩张系统中递归速率有何关系？
• RQ5 该框架能否应用于经典系统如β-动力系统和连分数系统，这些系统此前不在此类结果的适用范围内？

主要发现

• 在上述五项条件下，若∑ₙ ψⁿ(δ) < ∞，则R(ψ)的测度为0；若∑ₙ ψⁿ(δ) = ∞，则测度为1。
• 对于具有Parry测度的β-动力系统，若∑ψ(n) < ∞，则µ(R(Tβ, ψ)) = 0；若∑ψ(n) = ∞，则µ(R(Tβ, ψ)) = 1，其中δ = 1。
• 对于具有Gauss测度的连分数系统与Gauss映射，若∑ψ(n) < ∞，则L(R(TG, ψ)) = 0；若∑ψ(n) = ∞，则L(R(TG, ψ)) = 1，其中δ = 1。
• 对于具有T₃的三分之二康托尔集，δ = log₃2，若∑ψ(n)δ < ∞，则µ(R(T₃, ψ)) = 0；若∑ψ(n)δ = ∞，则µ(R(T₃, ψ)) = 1。
• 该结果通过函数ψ(n)提供了Boshernitzan递归定理的精确、定量递归速率，实现推广。
• 该框架适用于β展开和连分数等系统，这些系统此前不在Chang-Wu-Wu与Baker-Farmer的先前结果适用范围内。