[论文解读] Dynamical construction of Kähler-Einstein metrics on bounded pseudoconvex domains

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文通过证明一系列加权L²正交基迭代定义的Bergman核的归一化极限收敛于Kähler-Einstein体积形式，建立了在ℂⁿ中有C⁰边界且有界的强拟凸域上的Kähler-Einstein度量的动力构造。关键结果为：limₘ→∞ √[m]{(m!)⁻ⁿKₘ} = (2π)⁻ⁿdV_E，其中dV_E为Kähler-Einstein体积形式。

ABSTRACT

In this note we shall prove that the complete Kähler-Einstein volume form on a bounded strongly pseudoconvex domain with $C^{\infty}$-boundary is the normalized limit of a sequence of Bergman kernels.

研究动机与目标

• 建立一个基于Bergman核的动力系统，使其收敛于有界强拟凸域（C⁰边界）上的完整Kähler-Einstein度量。
• 将[T, p.110, 定理1.2]的非紧致情形结果推广至具有光滑边界的域，确保一致估计。
• 证明m阶Bergman核的归一化m次根在紧致一致拓扑下收敛于Kähler-Einstein体积形式。
• 通过强拟凸子域的 exhaustion，将构造推广至一般有界拟凸域。
• 利用极限度量的曲率估计，证明族中相对Kähler-Einstein体积形式的半正性。

提出的方法

• 定义递归动力系统：K₁ = Ω的Bergman核，h₁ = K₁⁻¹，递归地定义Kₘ₊₁为H⁰(Ω, (m+1)Kₐ)在加权L²内积（权重为hₘ）下的Bergman核。
• 利用Hörmander的L²估计处理∂̄算子，确保A²(Ω, (m+1)Kₐ, hₘ)空间定义良好且非常ample，从而实现Kₘ₊₁的构造。
• 利用Cheng-Yau的结果，借助(Ω, ω_E)的无限阶有界几何性质，统一控制Ω上曲率与度量衰减。
• 通过度量行列式在局部的泰勒展开，结合欧氏模型进行比较，建立截面的上下文L²估计。
• 应用Yau的Schwarz引理，证明子水平集Ω_c上体积形式ω_E,cⁿ的单调性，从而实现极限度量的构造。
• 利用Berndtsson关于直接像曲率正性的定理，证明族中相对体积形式dV_Ω/Δ⁻¹的半正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界强拟凸域（C⁰边界）上的完整Kähler-Einstein度量能否作为Bergman度量序列的极限实现？
• RQ2 m阶Bergman核的归一化m次根是否一致收敛于Kähler-Einstein体积形式？
• RQ3 在强拟凸域的非紧致情形下，如何保持一致估计？
• RQ4 族中相对Kähler-Einstein体积形式是否半正？
• RQ5 能否通过强拟凸子域的exhaustion，将Kähler-Einstein度量的构造从强拟凸域推广至一般有界拟凸域？

主要发现

• 归一化极限limₘ→∞ √[m]{(m!)⁻ⁿKₘ}在Ω上的紧致一致拓扑下存在。
• 该极限等于(2π)⁻ⁿdV_E，其中dV_E为与完整Kähler-Einstein度量ω_E相关的Kähler-Einstein体积形式。
• 收敛是一致的，且在整个域Ω上逐点成立，极限与正交基的选择无关。
• 证明依赖于来自(Ω, ω_E)有界几何的统一L²估计，从而确保对曲率与度量衰减的控制。
• 通过强拟凸子域Ω_c的exhaustion，该构造可推广至一般有界拟凸域，其中Kähler-Einstein度量被构造为单调递减极限。
• Ω ⊂ ℂⁿ×Δ上的相对体积形式dV_Ω/Δ⁻¹具有半正曲率，其证明基于Berndtsson定理与极限构造。