[论文解读] Dynamical Diophantine Approximation

Aihua Fan, Joerg Schmeling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过吉布斯测度与倍角映射研究圆周上的动力学丢番图逼近，建立了多重分形吉布斯测度的质量传递原理。通过熵谱与压强函数，精确计算了具有良好逼近与不良逼近点集的豪斯多夫维数，将经典的雅尼奇型结果推广至非单分形测度。

ABSTRACT

Let $μ$ be a Gibbs measure of the doubling map $T$ of the circle. For a $μ$-generic point $x$ and a given sequence $\{r_n\} \subset \R^+$, consider the intervals $(T^nx - r_n \pmod 1, T^nx + r_n \pmod 1)$. In analogy to the classical Dvoretzky covering of the circle we study the covering properties of this sequence of intervals. This study is closely related to the local entropy function of the Gibbs measure and to hitting times for moving targets. A mass transference principle is obtained for Gibbs measures which are multifractal. Such a principle was shown by Beresnevich and Velani \cite{BV} only for monofractal measures. In the symbolic language we completely describe the combinatorial structure of a typical relatively short sequence, in particular we can describe the occurrence of ''atypical'' relatively long words. Our results have a direct and deep number-theoretical interpretation via inhomogeneous diadic diophantine approximation by numbers belonging to a given (diadic) diophantine class.

研究动机与目标

• 将经典的动力学博雷尔-坎泰利与丢番图逼近结果推广至圆周上的非单分形吉布斯测度。
• 为多重分形吉布斯测度建立质量传递原理，推广此前仅限于单分形测度的结果。
• 刻画倍角映射轨道在不同逼近速度下良好逼近点集的豪斯多夫维数。
• 将典型轨道的逼近性质与底层吉布斯测度的熵谱及压强函数相联系。

提出的方法

• 在倍角映射 T(x) = 2x mod 1 下使用圆周上的吉布斯测度 μϕ 来建模典型轨道。
• 将逼近集 Iκ(s) 和 Fκ(s) 分别定义为围绕 Tⁿx、半径为 rₙ = n⁻κ 的区间的上极限与下极限。
• 应用热力学形式化：将逼近集的维数与压强函数 P(qϕ) 及其导数相关联。
• 利用熵谱 E(t) = sup{hμ(μ) : ∫ϕdμ = t} 来刻画 Fκ(s) 与 Iκ(s) 的豪斯多夫维数。
• 通过将逼近集的维数与压强函数关联，为多重分形测度建立质量传递原理。
• 通过因子映射 π 将符号动力系统的结果传递至圆周，使用推出测度 νϕ = μϕ∘π⁻¹。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 μϕ-几乎处处的 x，圆周上满足 y ∈ S¹ 且以速度 rₙ = n⁻κ 被轨道 {Tⁿx} 良好逼近的点集的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 集合 Fκ(s) 的维数如何依赖于吉布斯测度的熵谱与压强函数？
• RQ3 能否为多重分形吉布斯测度建立质量传递原理，从而推广已知的单分形测度结果？
• RQ4 在何种条件下集合 Iκ(s) 具有全维数 1，何时其维数更小？
• RQ5 当势函数 ϕ 非典型时，特别是当熵谱在不连续点附近时，逼近行为如何变化？

主要发现

• 对于 μϕ-几乎处处的 x，Fκ(π(x)) 的豪斯多夫维数为 E(1/κ) = P(qκϕ) + (1/κ)qκ，其中 P′(qκϕ) = -1/κ。
• 对于 μϕ-几乎处处的 x，当 hνϕ ≤ 1/κ < -∫ϕdLeb. 时，Iκ(π(x)) 的豪斯多夫维数为 E(1/κ)；当 1/κ > hνϕ 时，其维数为 1/κ。
• 当 1/κ ≤ -∫ϕdLeb. 时，对 νϕ-几乎处处的 s，有 dimH(Fκ(s)) = 1，表明在缓慢逼近下覆盖了全测度。
• 当 1/κ ≥ -∫ϕdLeb. 时，对 νϕ-几乎处处的 s，有 dimH(Iκ(s)) = 1，意味着几乎所有点都无限次被良好逼近。
• 当 κ < 1/(-inf_μ ergodic ∫ϕdμ) 时，集合 Fκ(s) 为空集，表明极慢的逼近速度将导致不存在不良逼近点。
• 结果将经典的雅尼奇型定理推广至非单分形吉布斯测度，压强函数与熵谱完全决定了逼近集的维数。