[论文解读] Dynamical Properties of Gaussian Chains and Rings with Long Range Interactions

Wolfgang Böck, Jinky B. Bornales+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过分数布朗运动（fBm）研究具有长程相互作用的高斯链和环状结构，表明单体间的相互作用由谐振力支配，其性质（吸引或排斥）取决于赫斯特指数 H。当 H < 1/2 时，所有成对作用力均为吸引；当 H > 1/2 时，远距离单体间出现排斥，临界点 H ≈ 0.75964 处，第三近邻单体间的作用力转为吸引。研究推导了耦合常数与能量谱，并为 H > 1/2 的情况提出了修正的周期性模型，以解决标准 fBm 失效的问题。

ABSTRACT

Various authors have invoked discretized fractional Brownian (fBm) motion as a model for chain polymers with long range interaction of monomers along the chain. We show that for these, in contrast to the Brownian case, linear forces are acting between all pairs of constituents, attractive for small Hurst index H and mostly repulsive when H is larger than 1/2. In the second part of this paper we extend this study to periodic fBm and related models with a view to ring polymers with long range interactions.

研究动机与目标

• 澄清由分数布朗运动（fBm）建模的具有长程相关性的高斯链和环状结构中单体间有效相互作用的本质。
• 推导单体间谐振耦合常数 $ g_{kl} $ 关于赫斯特指数 $ H $ 的显式表达式。
• 将基于 fBm 的模型扩展至周期性系统（环状聚合物），解决标准 fBm 在 $ H > 1/2 $ 时因协方差非正定而导致的失效问题。
• 为 $ H > 1/2 $ 构建具有长程排斥相互作用的替代刚性环状模型，确保物理一致性。
• 计算二次能量形式 $ \big\langle x, \mathcal{H}x \big\rangle $ 的谱，并将其与底层作用力结构关联。

提出的方法

• 将链和环建模为通过 $ X_k = B^H(k) $ 从 fBm 衍生的离散高斯过程，其增量为 $ Y_k = X_{k+1} - X_k $。
• 利用协方差矩阵 $ R_{ik} = \mathbb{E}[Y_i Y_k] $ 定义精度矩阵的逆 $ A = R^{-1} $，从而导出二次能量形式 $ (y, A y) $。
• 应用引理 1 将能量重写为成对谐振势之和：$ (y, A y) = \sum_{k,l} g_{kl} (x_k - x_l)^2 $，其中 $ g_{kl} $ 由 $ A $ 的元素导出。
• 对于周期性系统，使用圆周上的测地距离定义修正协方差 $ \mathbb{E}[|B^H(t) - B^H(s)|^2] = d(t-s)^{2H} $，该式仅在 $ H \leq 1/2 $ 时成立。
• 通过控制能量本征值以确保物理一致性和长程排斥，为 $ H > 1/2 $ 构建替代周期性模型。
• 利用循环矩阵理论与离散傅里叶变换计算相互作用矩阵 $ \mathcal{H} $ 的本征值与本征向量，实现谱分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有长程相互作用的高斯链中，单体间有效作用力如何依赖于赫斯特指数 $ H $？具体而言，这些作用力是吸引还是排斥？
• RQ2 为何标准分数布朗运动无法在 $ H > 1/2 $ 时定义有效的周期性过程？何种条件可确保协方差的半正定性？
• RQ3 当标准 fBm 在 $ H > 1/2 $ 时失效时，能否为具有长程相互作用的环状聚合物构建一个物理上一致的模型？
• RQ4 第三近邻相互作用在链中从排斥转为吸引的精确赫斯特指数 $ H $ 值是多少？
• RQ5 如何将能量形式 $ \sum g_{kl} (x_k - x_l)^2 $ 表示为二次型 $ \langle x, \mathcal{H} x \rangle $，且 $ \mathcal{H} $ 的谱性质如何？

主要发现

• 当 $ H < 1/2 $ 时，高斯链中所有成对相互作用均为吸引，由所有 $ k \neq l $ 的正耦合常数 $ g_{kl} > 0 $ 确认，链端存在有限尺寸效应。
• 当 $ H > 1/2 $ 时，最近邻仍保持吸引（$ g_{kl} > 0 $），但距离更远的单体间出现排斥，$ |k-l| \geq 2 $ 时 $ g_{kl} < 0 $。
• 在 $ H \approx 0.75964 $ 处，第三近邻的耦合常数（如 $ g_{31,34} $ 和 $ g_{31,28} $）变为零，标志着这些相互作用消失的转变点。
• 当 $ H > 1/2 $ 时，标准周期性 fBm 无法构建，因协方差非正定；但本文构建了替代模型，成功保留了长程排斥相互作用。
• 矩阵 $ \mathcal{H} $（代表能量二次型）具有对应于均匀平动的零本征值，其谱通过循环矩阵理论与离散傅里叶变换计算得出。
• 分析表明，对于长程耦合 $ g_k \sim -c k^{-\gamma} $，当 $ \gamma > 3 $ 时模型保持有效，确保收敛性与物理一致性。