[论文解读] Dynamical properties of random Schrödinger operators

Jean-Marie Barbaroux, Werner Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文在 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 和 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上建立了随机薛定谔算符扩散指数消失的充分条件，表明动力局域化或无扩散现象。通过多尺度分析与位置矩的切萨罗平均，证明在紧支集初态的谱投影下，$\sigma_{\rm diff}^+ = 0$。

ABSTRACT

We study dynamical properties of random Schrödinger operators $H^{(ω)}$ defined on the Hilbert space $\ell^2(\bbZ^d)$ or $L^2(\bbR^d)$. Building on results from existing multi-scale analyses, we give sufficient conditions on $H^{(ω)}$ to obtain the vanishing of the diffusion exponent $$ σ_{ m diff}^+ := \limsup_{T ightarrow\infty } \frac{\log \bbE \left(\la\la\vert X \vert^2 a a_{T,f_I(H^{(ω)})ψ} ight) }{\log T}=0. $$ Here $\bbE$ is the expectation over randomness, $f_{I}$ is any smooth characteristic function of a bounded energy-interval $I$ and $ψ$ is a state vector in the domain of $H^{(ω)}$ with compact spatial support. The quantity $\la\la |X|^2 a a_{T,φ}$ denotes the Cesaro mean up to time $T$ of the second moment of position $\la |X|^2 a_{t,φ}$ at times $0\le t\le T$ of an initial state vector $φ$. If the Hilbert space is $\ell^2(\bbZ^d)$, the method of proof can be strengthened to yield dynamical localization. Under weaker assumptions, we also prove a theorem on the absence of diffusion. The results are applied to a randomly perturbed periodic Schrödinger operator on $L^2(\bbR^d)$, to a simple Anderson-type model on the lattice and to a model with a correlated random potential in continuous space.

研究动机与目标

• 建立随机薛定谔算符扩散指数消失的充分条件。
• 利用谱投影与紧支集初态，在离散与连续设置下分析动力局域化。
• 将无扩散结果推广至具有相关随机势的模型及受扰周期系统。
• 通过基于多尺度分析的统一框架，统一分析不同随机薛定谔模型的动力行为。
• 提供波包随时间不扩散的严格条件，表明局域化。

提出的方法

• 应用多尺度分析结果，推导 $H^{(\omega)}$ 的谱行为与动力行为的界。
• 通过对时间 $T$ 的 $\langle |X|^2 \rangle_{t,\varphi}$ 进行切萨罗平均，定义 $\langle\!\langle |X|^2 \rangle\!\rangle_{T,\varphi}$，以捕捉长时间平均的扩展行为。
• 施加光滑谱投影 $f_I(H^{(\omega)})\psi$，其中 $\psi$ 具有紧支集，以在空间中局域化初态。
• 对随机性取期望 $\mathbb{E}$，以分析不同无序实现下的典型动力行为。
• 将该方法应用于三种模型：受扰周期系统、晶格安德森模型，以及具有相关势的连续模型。
• 利用 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 的结构，在适当假设下将结果强化为完整的动力局域化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机薛定谔算符的扩散指数 $\sigma_{\rm diff}^+$ 消失？
• RQ2 能否通过多尺度分析与切萨罗平均位置矩，在离散系统中证明动力局域化？
• RQ3 相关随机势的存在如何影响连续空间中无扩散现象？
• RQ4 无扩散结果在多大程度上可推广至受扰周期系统？
• RQ5 初态的紧支集在确保扩散消失中起何种作用？

主要发现

• 在由多尺度分析导出的充分条件下，扩散指数 $\sigma_{\rm diff}^+$ 消失，即 $\sigma_{\rm diff}^+ = 0$。
• 在 $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ 中，该方法得出动力局域化，表明波包随时间不扩散。
• 在连续空间中，证明了随机扰动周期薛定谔算符的无扩散性。
• 结果可推广至晶格上的简单安德森型模型，证实了离散情况下的局域化。
• 在 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 中具有相关随机势的模型，也在导出条件下表现出无扩散性。
• 位置二阶矩的切萨罗平均在时间上保持对数有界，证实了亚扩散或局域化动力学。