[论文解读] Dynamical Quantum Phase transitions and Recurrences in the Non-Equilibrium BCS model

Colin Rylands, Victor Galitski|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过解析方法证明，在非平衡BCS模型中，动力学量子相变（DQPTs）恰好发生在超导序参量振荡的每个局部极大值处，这些振荡具有孤子样特征。这些DQPTs为一级相变，仅在热力学极限下出现；当序参量达到稳定常数值时，DQPTs完全消失。

ABSTRACT

Non-equilibrium aspects of the BCS model have fascinated physicists for decades, from the seminal works of Eliashberg to modern realizations in cold atom experiments. The latter scenarios have lead to a great deal of interest in the quench dynamics of fermions with pairing interactions. The recently introduced notion of a dynamical quantum phase transition is an attempt to classify the myriad of possible phenomena which can result in such far from equilibrium systems. These are defined as non-analytic points of the logarithm of the Loschmidt echo and are linked to oscillations in the dynamics a systems order parameter. In this work we analytically investigate the relation between DQPTs and oscillation of the superconducting order parameter in quenches of the BCS model. We find that each oscillation of the order parameter is accompanied by a DQPT which is first order in nature. We show this for a variety of initial states and furthermore find that when the order parameter attains a constant steady state then no DQPTS occur.

研究动机与目标

• 建立动力学量子相变（DQPTs）与非平衡BCS模型中序参量振荡行为之间严格解析联系。
• 研究在序参量呈现时间周期性振荡的系统中，DQPTs是否会出现，特别是在淬火BCS哈密顿量的背景下。
• 确定DQPTs在何种条件下消失，特别是当系统演化至具有恒定序参量的稳态时。
• 通过在热力学极限下提供精确的解析处理，将DQPTs的理解从数值研究扩展至更深层次。
• 阐明初始态制备方式（基态或激发态）在决定DQPTs是否存在中的作用。

提出的方法

• 通过淬火BCS模型的精确解，解析计算Loschmidt回声 $ L(t) = |G(t)|^2 $，其中 $ G(t) = \braket{\Psi_i|e^{-iH_f t}|\Psi_i} $。
• 采用Lax向量形式化方法求解淬火后平均场BCS哈密顿量的动力学，将其映射为经典可积自旋系统。
• 推导序参量 $ \Delta(t) $ 的时间演化，表明当 $ \Delta_- \ll \Delta_+ $ 时，其表现出具有周期 $ t_{\text{DQPT}} $ 的孤子样振荡。
• 分析 $ G(t) $ 在复平面上的解析结构，将实轴上的零点识别为DQPTs的标志。
• 利用条件 $ \mathcal{K}(\epsilon_p) e^{-2it\sqrt{\epsilon_p^2 + \Delta_\infty^2}} = -1 $ 判断DQPTs是否可能在稳态区域出现。
• 评估 $ \mathcal{K}(\epsilon) $ 的模长，证明 $ |\mathcal{K}(\epsilon)| < 1 $，从而排除在恒定序参量极限下DQPTs存在的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在淬火BCS模型中，序参量的每次振荡是否都对应一次动力学量子相变（DQPT）？
• RQ2 这些在序参量振荡期间发生的DQPTs的性质是什么（例如，一级或二级）？
• RQ3 在何种条件下DQPTs会消失，特别是当系统达到具有恒定序参量的稳态时？
• RQ4 初始态（基态或激发态）如何影响非平衡BCS模型中DQPTs的发生与结构？
• RQ5 能否在热力学极限下，通过解析而非数值方法，建立DQPTs与序参量动力学之间的联系？

主要发现

• DQPTs恰好发生在振荡序参量 $ \Delta(t) $ 的每个局部极大值处，且这些DQPTs的周期与 $ \Delta(t) $ 的振荡周期一致。
• DQPTs具有第一类相变的性质，由 $ \log L(t) $ 在这些点处的非解析行为所证实，且仅在热力学极限下出现。
• 当序参量趋近于恒定稳态值 $ \Delta_\infty $ 时，不会发生DQPTs，因为条件无法满足，原因在于 $ |\mathcal{K}(\epsilon)| < 1 $。
• 在稳态区域中，Loschmidt回声 $ L(t) $ 的解析表达式确认了DQPTs的缺失，因为相位因子对任何 $ t $ 都不会达到 $ -1 $。
• 该结果对包括基态和激发态在内的广泛初始态均成立，表明DQPTs与序参量关联具有鲁棒性。
• 本研究首次在BCS模型中提供了DQPTs的解析处理，证实了早期的数值观察，并将其推广至热力学极限下的精确解析结果。