[论文解读] Dynamical stability and Lyapunov exponents for holomorphic endomorphisms of P(k)
本文建立了复射影空间 P^k 上全纯自同态的多种动力稳定性概念之间的等价性，包括排斥周期轨道的稳定性、李雅普诺夫指数之和的拟调和性、平衡纤维丛（或叶状结构）的存在性，以及 Misiurewicz 参数的缺失。核心贡献在于构建了高维全纯动力系统中一致的分岔理论，其特征为分岔当前 ddcL（其中 L 为李雅普诺夫指数之和），以及 Julia 集的可测全纯运动（即平衡叶状结构）。
We introduce a notion of stability for equilibrium measures in holomorphic families of endomorphisms of CP(k) and prove that it is equivalent to the stability of repelling cycles and equivalent to the existence of some measurable holomorphic motion of Julia sets which we call equilibrium lamination. We characterize the corresponding bifurcations by the strict subharmonicity of the sum of Lyapunov exponents or the instability of critical dynamics and analyze how repelling cycles may bifurcate. Our methods deeply exploit the properties of Lyapunov exponents and are based on ergodic theory and on pluripotential theory.
研究动机与目标
- 定义并刻画 P^k 上全纯自同态族的动力稳定性，将一维情形的结果推广至高维。
- 建立涉及排斥周期轨道、李雅普诺夫指数、平衡纤维丛与叶状结构的稳定性判据之间的等价性。
- 引入并分析分岔当前 ddcL 作为理论的核心对象，将稳定性与拟势论及遍历论联系起来。
- 将 Julia 集的可测全纯运动（即平衡叶状结构）的概念扩展至高维动力系统。
- 通过 L 的严格次调和性或临界动力系统的不稳定性来刻画分岔。
提出的方法
- 在参数空间 M 上定义李雅普诺夫指数之和 L(λ) = ∫_Pk log|Jac f| dµλ 为一个拟凸函数。
- 运用遍历论证明排斥 J-周期轨道在均衡测度 µλ 下等分布，并在 Julia 集 Jλ 中稠密。
- 引入平衡纤维丛作为空间 Hol(M, P^k) 中的概率测度 M，满足 γ(λ) ∈ Jλ，F-不变性，且投影至 µλ。
- 将平衡叶状结构定义为 Julia 集的可测全纯运动，其存在性等价于平衡纤维丛的存在性。
- 应用拟势论与正当前理论，特别是临界集上的当前 [Cf]，分析分岔现象。
- 通过逆分支的估计与使用定量边界条件的逆映射定理控制畸变，证明稳定性条件的等价性。
实验结果
研究问题
- RQ1从 P^1 上有理映射到 P^k 上自同态的动力稳定性，其正确推广是什么？
- RQ2在高维全纯动力系统中，排斥周期轨道的稳定性、李雅普诺夫指数的行为以及 Julia 集的全纯运动之间有何关联？
- RQ3P^k 中的分岔支集能否被表征为一个闭正当前的支集？它与李雅普诺夫指数之和有何关系？
- RQ4临界动力系统在决定高维族中分岔时起什么作用？
- RQ5在何种条件下，Julia 集的可测全纯运动（即平衡叶状结构）存在？它与稳定性有何关联？
主要发现
- 李雅普诺夫指数之和 L(λ) 在 M 上是拟凸函数，且满足 L(λ) ≥ k log d / 2。
- 族的稳定性等价于 L 在 M 上为拟调和函数，即稳定性支集正是 L 为调和函数的集合。
- 存在平衡纤维丛（即测度 µλ 的全纯粘合）当且仅当存在平衡叶状结构（即 Julia 集的可测全纯运动）。
- 分岔当前定义为 ddcL，分岔支集为其支集；族稳定当且仅当该当前为零。
- 不存在 Misiurewicz 参数（即具有非持久中性周期轨道的参数）等价于稳定性。
- 当稳定性成立时，平衡纤维丛唯一，且任意两个平衡叶状结构的交集满足 M(L1∆L2) = 0。
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