[论文解读] Dynamical torsion for contact Anosov flows

Yann Chaubet, Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 62被引用 8

一句话总结

本文引入了一种新的不变量——动力 torsion，用于接触 Anosov 流，解决了在截面表示下 Ruelle zeta 函数在 s=0 处可能未定义的值的问题。证明了该动力 torsion 在形变下保持不变，且在表示上是全纯的，并与 Turaev 的组合 torsion 具有相同的对数导数，这意味着它们的比值是局部常数。该结果将 Fried 的猜想推广到了奇维双曲流形。

ABSTRACT

We introduce a new object, the dynamical torsion, which extends the potentially ill-defined value at $0$ of the Ruelle zeta function of a contact Anosov flow twisted by an acyclic representation of the fundamental group. We show important properties of the dynamical torsion: it is invariant under deformations among contact Anosov flows, it is holomorphic in the representation and it has the same logarithmic derivative as some refined combinatorial torsion of Turaev. This shows that the ratio between this torsion and the Turaev torsion is locally constant on the space of acyclic representations. In particular, for contact Anosov flows path connected to the geodesic flow of some hyperbolic manifold among contact Anosov flows, we relate the leading term of the Laurent expansion of $ζ$ at the origin, the Reidemeister torsion and the torsions of the finite dimensional complexes of the generalized resonant states of both flows for the resonance $0$. This extends previous work of~\cite{dang2018fried} on the Fried conjecture near geodesic flows of hyperbolic $3$--manifolds, to hyperbolic manifolds of any odd dimension.

研究动机与目标

• 为接触 Anosov 流在截面表示下，定义 Ruelle zeta 函数在 s=0 处的具有良好行为的延拓。
• 在接触 Anosov 流的空间内，建立该新不变量在形变下的不变性。
• 证明动力 torsion 与 Turaev 的组合 torsion 具有相同的对数导数，这意味着它们的比值是局部常数。
• 将 Fried 的猜想（即 Ruelle zeta 函数在 s=0 处与 Reidemeister torsion 的关系）推广到奇维双曲流形。
• 将 s=0 处 zeta 函数的洛朗展开的首项与解析 torsion 及广义共振态关联起来，适用于接触 Anosov 流。

提出的方法

• 通过微局部分析与谱理论，将动力 torsion 定义为 Ruelle zeta 函数在 s=0 处值的全纯延拓。
• 以 Dyatlov–Zworski 等人建立的 Anosov 流的 Ruelle zeta 函数的亚纯延拓为基础。
• 应用 Atiyah–Bott 跟踪公式与 Hille–Yosida 定理，分析在各向异性 Sobolev 空间上流生成元的预解算子与迹。
• 利用在共振点 0 处的广义共振态的结构，将 zeta 函数的行为与 torsion 不变量关联起来。
• 利用平坦联络诱导出基本群的表示，并通过 Ruelle zeta 函数分析扭上同调。
• 通过比较谱不变量与组合不变量，证明动力 torsion 的对数导数与 Turaev torsion 相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有截面表示的接触 Anosov 流，Ruelle zeta 函数在 s=0 处可能未定义的值能否被有意义地延拓？
• RQ2 该结果不变量在接触 Anosov 流的连续形变下是否保持不变？
• RQ3 该新不变量的对数导数是否与 Turaev 的组合 torsion 相同？
• RQ4 Fried 的猜想（即 Ruelle zeta 函数在 s=0 处与 Reidemeister torsion 的关系）能否推广到奇维双曲流形？
• RQ5 zeta 函数在 s=0 处洛朗展开的首项如何与解析 torsion 及共振态相关？

主要发现

• 动力 torsion 是良好定义的，且在表示上是全纯的，并在接触 Anosov 流的连续形变下保持不变。
• 动力 torsion 的对数导数与 Turaev 的组合 torsion 相同，这意味着它们的比值在截面表示的空间上是局部常数。
• 对于与奇维双曲流形上的测地流同伦的接触 Anosov 流，Ruelle zeta 函数在 s=0 处洛 Laurent 展开的首项与 Reidemeister torsion 及在共振点 0 处的广义共振态复形的 torsion 相关。
• 该结果将 DGRS18 在三维时的工作推广到所有奇维情形，将 Fried 的猜想扩展到了高维双曲流形。
• 动力 torsion 在接触 Anosov 动力学背景下，为 Ruelle zeta 函数、Reidemeister torsion 与 Turaev torsion 之间建立了谱-分析桥梁。
• 证明依赖于流生成元的微局部分析、共振态的结构，以及在各向异性 Sobolev 空间上的迹公式。